De afgeleide van de sinus van de hoek gelijk is aan de cosinus van dezelfde hoek

Dana eenvoudige trigonometrie functie y = sin (x), differentieerbaar op elk punt van het gehele domein. We moeten bewijzen dat de afgeleide van de sinus van elke argument gelijk aan de cosinus van dezelfde hoek, dat wil zeggen '= Cos (x).

Het bewijs is gebaseerd op de definitie van een afgeleide functie

We definiëren x (willekeurige) in sommige kleine buurt van een bepaald punt x Ah _0. We zullen de functie waarde laten zien in het, en op het punt x om de toename van een bepaalde functie te vinden. Indien Ah - argument verhoogd, de nieuwe argument - dat x ₀ + Ax = x, de waarde van deze functie voor een gegeven waarde van het argument (x) gelijk Sin (x ₀ + Ax), de functiewaarde op een specifiek punt (x ₀₎ is bekend .

Nu hebben we Au = Sin (x ₀ + Ah) sin (x ₀₎ - verkregen increment functie.

Volgens de formule sinus som van twee ongelijke hoeken zullen we het verschil Au zetten.

Au = sin (x ₀₎ · Cos (Ah) + cos (x ₀₎ · Sin (Ax) minus Sin (x ₀₎ = (cos (Ax) -1 ) sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · Sin (Ah).

Uitgevoerd permutatie termen eerst gegroepeerd derde Sin _{(0 x),} die de gemeenschappelijke factor - sine - de beugels. We kregen de expressie Cos verschil (Ah) -1. Het aan het teken voor de haakjes en beugels veranderen. Weten wat de 1-Cos (Ah), maken we veranderingen en verkrijgen een vereenvoudigde uitdrukking Au, dat vervolgens wordt gedeeld door Ah.
Au / Ah zal de vorm hebben: Cos (x ₀₎ · Sin (Ah) / Ah 2 · Sin ² (0,5 x Ah) sin (x ₀₎ / Ah. Dit is de verhouding van de toename van de functie om de toelating tot de toename van het argument.

Blijft binnen de grenzen van de verkregen waarde door ons tijdens lim Ah vinden, neigt naar nul.

Het is bekend dat de grens Sin (Ah) / Ax gelijk is aan 1, onder de voorwaarde. En de expressie 2 sin ² (0,5 x Ah) / Ah in de resulterende som specifieke transformaties product dat als eerste vermenigvuldiger opmerkelijk grens: de teller van de fractie en znemenatel delen door 2, het kwadraat van de sinus vervangen product. Hier is hoe:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) sin (Ax / 2).
De limiet van deze uitdrukking wanneer Ah naar nul, gelijk aan het aantal nul (0 maal 1) zijn. Het blijkt dat de limiet van de verhouding Ay / Ah cos (x ₀₎ · 1-0, dit Cos (x _0), waarvan de expressie onafhankelijk van Ah neiging op 0. Conclusie: de afgeleide van de sinus van elke hoek gelijk aan x cosinus van x, kan worden geschreven als: y '= Cos (x).

Het resulterende formule in de tabel van de bekende derivaten, waarbij alle elementaire functies

Bij het oplossen van problemen, waar hij voldoet aan de afgeleide van de sinus, kunt u het gebruiken regels van differentiatie en kant en klare formules van de tafel. Bijvoorbeeld: vind de afgeleide van de eenvoudigste functie y = 3 sin (x) -15. We gebruiken de elementaire afleidingsregels verwijderen getalfactor voor het teken van de afgeleide en bereken de afgeleide constant aantal (dat is nul). Breng een sinustabel waarde van de afgeleide van de hoek x gelijk cos (x). Ontvangt het antwoord: y '= 3 · cos (x) -O. Dit derivaat op zijn beurt ook een elementaire functie y = H · cos (x).

De afgeleide van sinus kwadraat van elke stelling

Bij de berekening van de uitdrukking ⁽² Sin (x)) moet nog hoe gesplitste complexe functie. Dus, ² = sin (x) - is een machtsfunctie als sinus kwadraat. Zijn argument is ook een trigonometrische functie, een complex argument. Het resultaat in dit geval gelijk aan het product van de eerste vermenigvuldiger is een vierkant van het complex derivaat van het argument en de tweede - de afgeleide van de sinus. Hier is de regel voor het differentiëren van een functie van een functie: (u (v (x))) 'is (u (v (x)))' · (v (x))'. Expressie van v (x) - een complexe argument (interne functie). Als de gegeven functie "y gelijk is aan de sinus kwadraat x", dan is de afgeleide van de samengestelde functie y '= 2 sin (x) cos (x). Het product van de eerste vermenigvuldiger verdubbeld - afgeleide bekende exponentiële functie en Cos (x) - derivaat sinus complexe argument van de kwadratische functie. Het eindresultaat kan worden getransformeerd met behulp van de formule van de trigonometrische sinus van een dubbele hoek. A: Het derivaat Sin (2 · x). Deze formule is makkelijk te onthouden, wordt het vaak gebruikt als een tafel.