Veelvlakken. Soorten veelvlakken en hun eigenschappen

Veelvlakken niet alleen een prominente plaats in de geometrie, maar ook in het dagelijks leven van ieder mens. Niet aan de kunstmatige vermelden verwante punten verschillende veelhoeken, uitgaande van de matchbox en eindigend architecturale elementen in de natuur ook kristallen voorkomen in de vorm van een kubus (zout), prisma (kristal), piramide (scheeliet), octaëders (diamant), etc. . d.

Het concept van een veelvlak, in geometrietypes van veelvlakken

Geometry wetenschap bestaat stereometrie afdeling die zich bezighoudt met de kenmerken en eigenschappen van bulk vormen. Geometrisch flanken worden gevormd in de driedimensionale ruimte begrensd door vlakken (facetten) worden "polytopen". Soorten veelvlakken meer dan een dozijn vertegenwoordigers van verschillende aantal en de vorm van de vlakken.

Niettemin zijn alle veelvlakken hebben gemeenschappelijke eigenschappen:

1. Ze hebben allemaal drie integrale componenten: het gezicht (veelhoekig oppervlak), de bovenste (de hoeken in de grond gevormde facetten verbinding), een rand (zijde of cut vormen gevormd op de kruising van twee vlakken).
2. Elke polygoonrand verbindt de twee, en slechts twee vlakken die ten opzichte van elkaar grenzen.
3. De uitstulping betekent dat het lichaam volledig is aangebracht aan één zijde van het steunvlak van rust één van de vlakken. De regel geldt voor alle vlakken van het veelvlak. Deze geometrische vormen in stereometrie termijn genoemd convexe veelvlakken. Uitzonderingen zijn stervormige veelvlakken die zijn afgeleid van regelmatige veelhoekige geometrische lichamen.

Veelvlakken kunnen worden onderverdeeld in:

1. Soorten convexe veelvlakken, bestaande uit de volgende klassen: conventioneel of classic (een prisma, een pyramide, een box), rechter (ook wel regelmatige veelvlakken), semiregular (achternaam - Archimedische vaste stoffen).
2. Niet-convexe veelvlakken (stellaatcellen).

Prism en de eigenschappen

Geometrie als divisie geometrie bestudeert de eigenschappen van driedimensionale vormen, veelvlakken (waaronder prisma). Prisma noemde geometrische lichaam dat twee identieke vlakken is vereist (ook wel basen) in evenwijdige vlakken liggende, en n-de van de zijvlakken in de vorm van parallellogrammen. Op zijn beurt, het prisma heeft ook verschillende soorten, waaronder soorten veelvlakken, zoals:

1. Parallellepipedum - gevormd wanneer de base een parallellogram - een veelhoek met paren van twee tegengestelde gelijke hoeken en twee paar tegenoverliggende zijden congruent.
2. Prisma loodrecht op de randen van de basis.
3. De schuine prisma gekenmerkt door indirecte hoek (van 90) tussen vlakken en de basis.
4. Juiste kenmerk prisma basen in de vorm van een regelmatige veelhoek met gelijke zijden.

De belangrijkste eigenschappen van het prisma:

• Congruent basen.
• Alle randen van het prisma gelijk en evenwijdig aan elkaar.
• Alle zijvlakken een vorm hebben van een parallellogram.

piramide

Piramide genaamd geometrisch lichaam dat een bodem en een van de n-de van de driehoekige vlakken die aansluiten op een enkel punt bestaat - boven. Opgemerkt wordt dat indien de zijvlakken van de piramide wordt voorgesteld door driehoeken is vereist, dan kan de base worden als een driehoekig polygoon of vierhoekige en vijfhoekige, enzovoort ad infinitum. In dit geval wordt de naam van de piramide overeenkomt met een veelhoek aan de basis. Indien bijvoorbeeld de base een driehoek piramide - een driehoekige piramide, vierzijdig - vierhoekige, etc ...

Pyramids - het konusopodobnye veelvlakken. Soorten veelvlakken van deze groep, in aanvulling op het bovenstaande, ook de volgende vertegenwoordigers:

1. Regelmatige piramide heeft basis van een regelmatige veelhoek, en de hoogte zal naar het middelpunt van een ingeschreven cirkel in de basis- of afgebakend omheen.
2. Een rechthoekige piramide wordt gevormd wanneer één van de zijranden kruisen de basis onder een rechte hoek. In dat geval geldt deze rand ook wel piramide hoogte.

Piramide Properties:

• In het geval dat de zijranden congruente piramiden (dezelfde hoogte), ze overlappen met een base in een hoek, en rond de basis kan een cirkel met het middelpunt samenvalt met de projectie van de top van de piramide trekken.
• Als de basis van de piramide is een regelmatige veelhoek, alle zijranden congruent en de vlakken zijn gelijkbenige driehoeken.

Regelmatig veelvlak: types en eigenschappen van veelvlakken

In stereometrical een bijzondere plaats innemen van de geometrische lichaam met een geheel aan elkaar gelijk facetten de hoekpunten verbonden is met hetzelfde aantal ribben. Deze lichamen worden genoemd Platonische lichamen of regelmatige veelvlakken. Soorten veelvlakken met dergelijke eigenschappen, zijn er slechts vijf cijfers:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodecaëder.
5. Icosahedron.

Zijn naam regelmatige veelvlakken zijn verplicht om oude Griekse filosoof Plato beschreef deze geometrische lichamen in hun werk en om ze te verbinden met de elementen van de natuur: aarde, water, vuur, lucht. Vijfde cijfer toegekend overeenkomsten met de structuur van het heelal. Volgens hem, natuurrampen atomen lijken op de aard van de regelmatige veelvlakken. Dankzij de meest spectaculaire eigenschap - symmetrie, deze geometrische vormen van groot belang, niet alleen voor de oude wiskundigen en filosofen, maar ook voor architecten, schilders en beeldhouwers van alle tijden. De aanwezigheid van slechts 5 soorten met absolute symmetrie veelvlakken als een fundamentele ontdekking kenden deze ook verband met de God.

Hexahedron en de eigenschappen

In de vorm van hexahedron opvolgers aangenomen Plato gelijkenis met de structuur van de aarde voorstelt. Natuurlijk, nu volledig weerlegd deze hypothese, die echter niet interfereert met de tekeningen en moderne tijd in de gedachten van bekende figuren van zijn esthetiek te trekken.

In de meetkunde is een hexahedron, hij's Cube beschouwd als een speciaal geval van de doos, die op zijn beurt, is een soort prisma. Dienovereenkomstig verschaft de eigenschappen geassocieerd met kubus prisma eigenschappen met als enige verschil dat alle randen en hoeken van de kubus gelijk. Vanuit deze de volgende eigenschappen:

1. Alle randen van een kubus congruent en liggen in parallelle vlakken ten opzichte van elkaar.
2. Alle vlakken - congruente vierkanten (van het blokje 6), welke elk kan worden uitgegaan.
3. Alle hoeken gelijk intergranal 90.
4. Van elk hoekpunt een gelijk aantal ribben, namelijk 3.
5. De kubus heeft negen symmetrieassen, waarbij alle elkaar in het snijpunt van de diagonalen van de hexahedron, aangeduid als een centrum van symmetrie.

viervlak

Tetrahedron - een tetraëder met randen gelijk in vorm van driehoeken, elk hoekpunt waarvan het verbindingspunt van drie randen.

De eigenschappen van een regelmatige tetraëder:

1. Alle vlakken van tetraëder - een gelijkzijdige driehoek, wat betekent dat alle vlakken van een tetraëder congruent.
2. Aangezien de base een vaste geometrische figuur, dat wil zeggen zij gelijke zijden, de vlakken van de tetraëder en convergeren onder dezelfde hoek, d.w.z. alle hoeken gelijk.
3. Hoeveelheid vlakke hoeken op elk van de hoekpunten gelijk aan 180, omdat alle hoeken gelijk zijn, elke hoek van een regelmatige tetraëder 60.
4. Elk van de hoekpunten geprojecteerde snijpunt van de hoogte van het andere (orthocenter) vlak.

Octaëder en de eigenschappen

Beschrijven soorten regelmatige veelvlakken, moet worden opgemerkt dat object als een octaëder, die visueel kan worden voorgesteld als twee gelijmde vierzijdige basis van regelmatige piramides.

De eigenschappen van de octaëder:

1. De naam van de geometrische lichaam vertelt het aantal van haar gezichten. Octaëder bestaat uit 8 congruente gelijkbenige driehoeken, die elk gelijk zijn aan het aantal hoekpunten convergerende vlakken, namelijk 4.
2. Aangezien alle vlakken van de octaëder gelijk zijn en de hoeken intergranal, die elk 60 en de som van vlakke hoeken geven hoekpunten is dus 240.

dodecaëder

Als we ons voorstellen dat alle gezichten van de geometrische lichaam is een regelmatige vijfhoek, krijg je een dodecaëder - een cijfer van 12 polygonen.

Eigenschappen dodecaëder:

1. Bij elk hoekpunt kruisen langs drie zijden.
2. Alle vlakken zijn gelijk en hebben dezelfde lengte ribben en gelijk oppervlak.
3. Op de dodecaëder 15 assen en symmetrievlakken, één van hen passeert door het midden van het bovenvlak en een tegenoverliggende rand.

icosahedron

Even interessant dan dodecahedron, icosahedron cijfer het driedimensionale geometrische lichaam 20 met gelijke zijden. Onder de eigenschappen recht icosaeder zijn de volgende:

1. Alle gezichten van de icosahedron - gelijkbenige driehoeken.
2. Op elk hoekpunt van het veelvlak convergeren vijf vlakken, en de som van aangrenzende hoeken 300 bedekt.
3. Icosahedron is gelijk en dodecahedron, 15 assen en symmetrievlakken die door de middelpunten van tegenoverliggende zijden.

semiregular polygonen

Bovendien platonische lichamen, veelvlakken convexe groep vallen ook Archimedische vaste stoffen, die afgeknotte regelmatige veelvlakken zijn. Soorten veelvlakken in deze groep hebben de volgende eigenschappen:

1. Geometrisch lichaam paarsgewijze gelijk gezichten van verschillende types, bijvoorbeeld afgeknotte tetraëder is hetzelfde als een gewone tetraëder, 8 vlakken, maar het houderlichaam 4 Archimedes vlakken zijn driehoekig en 4 - zeshoekig.
2. Alle hoeken zijn congruent aan een hoekpunt.

stervormige veelvlakken

Vertegenwoordigers soorten neobomnyh geometrische lichamen - stervormige veelvlakken, de gezichten die kruisen met elkaar. Zij kunnen worden gevormd uit een fusie tussen twee gewone driedimensionale lichamen of als gevolg van het voortduren van het gezicht.

Aldus dergelijke bekende stervormige veelvlakken zoals: stervormige vorm van een octaëder, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedral, icosidodecaëder.