Booleaanse algebra. algebra van de logica. Elementen van wiskundige logica

In de wereld van vandaag zijn we in toenemende mate gebruik van een verscheidenheid van machines en gadgets. En niet alleen wanneer het nodig is om letterlijk bovenmenselijke kracht van toepassing is: bewegen de belasting op te trekken om de hoogte, graven lange en diepe greppel, etc. Cars vandaag verzamelen robots, wordt het voedsel gekookt Multivarki en elementaire rekenkundige bewerkingen te produceren rekenmachines ... Steeds vaker horen we de uitdrukking "Booleaanse algebra". Misschien is de tijd gekomen om de rol van de mens in de creatie van robots en machines te begrijpen de mogelijkheid op te lossen niet alleen wiskundige, maar ook logische problemen.

logica

In de Griekse logica - een geordend systeem van denken dat de relatie tussen de gegeven omstandigheden creëert en stelt u in staat om conclusies op basis van veronderstellingen en schattingen te maken. Heel vaak, vragen we elkaar: "Het is logisch" Het antwoord bevestigt onze aannames of kritiek op de gedachtegang. Maar het proces is nog niet alles: we blijven praten.

Soms is het aantal condities (input) is zo groot, en de relatie tussen hen is zo verwarrend en complex dat het menselijk brein is niet in staat om "verteren" allemaal tegelijk. U kunt meer dan één maand (week, jaar) nodig voor het begrijpen van wat er gebeurt. Maar het moderne leven geeft ons deze tijdsintervallen om beslissingen te nemen. En we toevlucht nemen tot de hulp van computers. En het is hier dat er een algebra en logica, met zijn wetten en eigenschappen. Na het downloaden van alle van de oorspronkelijke gegevens, laten we de computer om alle relaties te herkennen, om tegenstrijdigheden te elimineren en om een bevredigende oplossing te vinden.

Wiskunde en logica

Beroemde Gotfrid Vilgelm Leybnits formuleerde het concept van "wiskundige logica", welke taken waren gemakkelijk om slechts een kleine kring van wetenschappers te begrijpen. Van bijzonder belang is de richting niet de oorzaak, en naar het midden van de negentiende eeuw van de wiskundige logica bekend door weinigen.

De grote belangstelling voor de wetenschappelijke gemeenschap heeft een geschil, waarin de Engelsman Dzhordzh Bul verklaarde zijn voornemen om een tak van wiskunde vast te stellen, niet hebben absoluut geen enkel praktisch nut heeft veroorzaakt. Zoals we weten uit de geschiedenis, op dit moment actief de ontwikkeling van de industriële productie, allerlei hulpmachines ontwikkelden wij hebben t. E. Alle wetenschappelijke ontdekkingen een praktische oriëntatie hadden.

Wat de toekomst betreft, zeggen we dat een Booleaanse algebra - de meest gebruikte in de wereld van vandaag een deel van de wiskunde. Dus je betoog Buhl verloren.

Dzhordzh Bul

De persoonlijkheid van de auteur verdient bijzondere aandacht. Zelfs gezien het feit dat in het verleden mensen opgegroeid vóór ons, toch moet worden opgemerkt dat in de 16 jaren van John. Buhl onderwezen op de dorpsschool, en tot 20 jaar opende hij zijn eigen school in Lincoln. Wiskundige perfect beheerst vijf vreemde talen, en in zijn vrije tijd, werd het lezen van de werken van Newton en Lagrange. En dit alles - op de zoon van een gewone werknemer!

In 1839, Buhl stuurde zijn eerste wetenschappelijke papers in het Cambridge Mathematical Journal. Wetenschapper bleek 24 jaar. werk Boole is zo geïnteresseerde leden van de Royal Society, in 1844 hij een medaille ontving voor zijn bijdrage aan de ontwikkeling van wiskundige analyse. Een aantal gepubliceerde artikelen waarin de elementen van de wiskundige logica, wiskunde kon de jong om de functie van professor in de College of Cork County nemen werden beschreven. Bedenk dat bij de zeer Boole onderwijs was.

idee

In principe, Boolean algebra is zeer eenvoudig. Er zijn verklaringen (logische expressies) dat, vanuit het oogpunt van de wiskunde, kan slechts twee woorden gedefinieerd: "true" of "false". Bijvoorbeeld, bomen in het voorjaar bloeien - de waarheid, in de zomer het sneeuwt - een leugen. De schoonheid van de wiskunde is dat het niet strikt noodzakelijk is om alleen getallen gebruiken. Voor de algebra oordelen helemaal past geen uitspraken met unieke betekenis.

Aldus kan de algebra van de logica letterlijk overal gebruikt: in de planning en het schrijven instructie analyseren tegenstrijdige gegevens over de gebeurtenissen en de bepaling van de volgorde van acties. Het belangrijkste ding - om te beseffen dat het niet uitmaakt hoe we de waarheid of onwaarheid van de verklaringen vast te stellen. Uit deze "hoe" en "waarom" je nodig hebt om te negeren. Waar het om gaat is slechts een constatering van een feit: de waarheid is een leugen.

Natuurlijk, het programmeren van de belangrijkste functies van de algebra van de logica die zijn opgenomen met de juiste tekens en symbolen. En leer hen - het betekent om een nieuwe vreemde taal te leren. Niets is onmogelijk.

Basis begrippen en definities

Zonder in te gaan op de diepte, we omgaan met de terminologie. Dus, Boolean algebra veronderstelt:

• statements;
• logische bewerkingen;
• functies en wetten.

Verklaringen - alle positieve expressie die kunnen worden geïnterpreteerd tweewaardige. Ze zijn geschreven als getallen (5> 3) of geformuleerd bekende woorden (olifant - het grootste zoogdier). In dit geval betekent de uitdrukking "de nek van de giraffe niet" ook bestaansrecht slechts Boolean algebra definiëren als "een lie."

Alle verklaringen moet ondubbelzinnig zijn, maar ze kunnen basische of verbinding zijn. Recent gebruik logisch bundel. E. In de algebra verklaringen oordelen verbinding gevormd door de toevoeging van elementaire logische bewerkingen.

Booleaanse algebra operaties

We herinneren ons al dat de operaties in de algebra van beslissingen - logisch. Net zoals de algebra van getallen met behulp van de rekenkundige bewerkingen optellen, aftrekken of vergelijken getallen, wiskundige logica elementen toelaten om complexe verklaringen af te leggen, te ontkennen of om het uiteindelijke resultaat te berekenen.

Logische bewerkingen in de formele en eenvoud van de formule, ons bekende rekenkundige expressie. Eigenschappen van Booleaanse algebra vergelijkingen maken het mogelijk om op te nemen en bereken het onbekende. Logische bewerkingen worden meestal opgenomen door de waarheid tafel. De elementen definiëren kolommen en rekenbewerking die wordt uitgevoerd op hen en de rijen tonen het resultaat van de berekeningen.

Basic logica van actie

De meest voorkomende in de Booleaanse algebra operaties negatie (NOT), en de logische AND en OR. Zo is het mogelijk om vrijwel alle stappen in algebra oordelen te beschrijven. Wij in detail bestudeerd elk van de drie operaties.

De negatie (niet) wordt slechts één element (operand). Daarom wordt de operatie heet een unaire negatie. Om het concept van de "niet A" het gebruik van dergelijke symbolen op te nemen: ¬A, A of A !. In tabelvorm ziet het er als volgt uit:

De functie van ontkenning kenmerkend dergelijke verklaring: als A waar is, A - vals. Bijvoorbeeld, de maan draait rond de aarde - de waarheid; Aarde draait rond de maan - een leugen.

Logische vermenigvuldiging en optelling

Logisch bewerken en heet een conjunctie. Wat betekent het? In de eerste plaats, dat het kan worden toegepast op twee operanden, dat wil zeggen, I - .. Binary operatie. Ten tweede, het is alleen bij de waarheid van beide operanden (A en B) waar en de expressie zelf. Het spreekwoord, "Geduld en een beetje inspanning" impliceert dat er slechts twee factoren kunnen helpen een persoon omgaan met de problemen.

symbolen worden gebruikt voor het opnemen: A∧B, A⋅B of A && B.

Conjunctie is vergelijkbaar met vermenigvuldiging in rekenen. Soms zijn en zeggen: - logische vermenigvuldiging. Als je de elementen van de rijen van de tabel te vermenigvuldigen, krijgen we een vergelijkbaar resultaat als logisch denken.

Disjunctie is een logische OF-bewerking. Het is TRUE als tenminste één van de verklaringen waar (A of B). Het is geschreven als volgt: A∨B, A + B of A || B de waarheid tabel voor deze operaties zijn:

Disjunctie vergelijkbare rekenkundige toevoeging. logische optelling slechts één beperking: 1 + 1 = 1. Maar we vergeten dat in een digitaal formaat is beperkt tot de wiskundige logica 0 en 1 (waarbij 1 - de waarheid, 0 - false). Bijvoorbeeld, de verklaring "in het museum een meesterwerk kunnen zien of het vinden van een goed bedrijf" betekent wat je kunstwerken kunnen zien, en het is mogelijk om een interessant persoon te ontmoeten. Op hetzelfde moment, sluit niet uit dat de mogelijkheid van het tegelijkertijd wordt voldaan aan beide evenementen.

Functies en wetten

Dus, we weten al wat de logische operatie met behulp van Booleaanse algebra. Functies beschrijven alle eigenschappen van de elementen van de wiskundige logica, en stellen ons in staat om complexe samengestelde instructies te vereenvoudigen. De meest duidelijke en eenvoudige lijkt afwijzing eigendom van de derivaten operaties. Door derivaten begrepen XOR, impliciet equivalentie. Als we alleen met de basisfuncties hebt gelezen, en dan is ook de eigenschap alleen rekening met hen.

Associativiteit betekent dat de uitspraken als "A en B en B 'sequentielijst van de operanden niet uit. De formule is als volgt geschreven:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Zoals u kunt zien, dit is niet uniek voor de combinatie, maar een scheiding.

Commutativiteit stelt dat het resultaat van de conjunctie of disjunctie hangt niet af van het item dat werd beschouwd als in het begin:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributiviteit laat openbaren haakjes in complexe logische expressies. Regels zijn vergelijkbaar met de opening haakje in de vermenigvuldiging en optelling in algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Eenheid eigenschappen en krassen, die één van de operanden ook gelijkwaardig aan de algebraïsche vermenigvuldiging met nul of één, en toevoeging van een eenheid:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency vertelt ons dat als relatief twee gelijke operanden het resultaat van de operatie is hetzelfde, kunt u "gooien" de overtollige compliceren redenering operanden. En de conjunctie en disjunctie operaties idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Overname stelt ons ook om de vergelijking te vereenvoudigen. Absorptie bepaald dat wanneer de expressie wordt aangebracht op één operand, een andere bewerking met hetzelfde element van het resultaat operand absorberende werking.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

reeks bewerkingen

Volgorde van bewerking van groot belang. Eigenlijk, als voor algebra, is er een prioriteit functie die een Boolean algebra gebruikt. Formules kunnen worden vereenvoudigd alleen onder de betekenis van de operaties. Ranking van de belangrijkste te verwaarlozen, krijgen we de volgende volgorde:

1. Denial.

2. Combinatie.

3. disjunctie, XOR.

4. De implicatie, gelijkwaardigheid.

Zoals u kunt zien, alleen de negatie van de conjunctie en niet dezelfde prioriteit hebben. Een prioriteit van de scheiding en XOR gelijk, evenals de prioriteiten van impliciet equivalentie.

Functies van implicatie en gelijkwaardigheid

Zoals gezegd, naast de elementaire logische bewerkingen, mathematische logica en van algoritmen met gebruikmaking van derivaten. Het is meestal de implicatie en gelijkwaardigheid.

De implicatie of logische consequentie - deze verklaring, waarin een actie is een voorwaarde, en de andere - het resultaat van de uitvoering ervan. Met andere woorden, dit voorstel onder het voorwendsel van "als ... dan". "Na het diner komt de afrekening." E. Voor de aandrijving wordt vastgezet op de slee heuvel. Als er geen behoefte om naar beneden van de berg, en sleep de slee is niet nodig. Is zo geschreven: A → B of A⇒B.

Equivalentie impliceert dat het netto-effect treedt alleen op wanneer beide operanden true. Bijvoorbeeld, 's nachts maakt plaats voor de dag dan (en alleen dan), als de zon opkomt boven de horizon. In de taal van de wiskundige logica van deze verklaring wordt geschreven als A≡B, A⇔B, A == B.

Andere wetten van de Boole-algebra

Algebra oordeel ontwikkelt, en vele geïnteresseerde wetenschappers om nieuwe wetten te formuleren. De meest bekende zijn beschouwd postuleert Schotse wiskundige O. De Morgan. Hij zag en gaf een definitie van dergelijke eigenschappen zo dicht negatie, optellen en dubbel negatief.

Afsluiten ontkenning suggereert dat vóór de haakjes niet ontkennen geen (A of B) = geen A of B. NIET

Wanneer de operand wordt geweigerd, ongeacht de waarde ervan, zeggen over toevoeging:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

En tot slot, de dubbele ontkenning zelf compenseert. ie voordat een operand ontkenning verdwijnt of blijft slechts één.

Hoe te testen op te lossen

Logica impliceert vereenvoudiging voorafbepaalde vergelijkingen. Net als in de Lie algebra, is het noodzakelijk om maximaal te vergemakkelijken eerste voorwaarde (om zich te ontdoen van gecompliceerde ingang operaties, en met hen), dan op zoek gaan naar een juist antwoord.

Wat te doen om te vereenvoudigen? Converteren alle derivaten op een eenvoudige handeling. onthullen dan alle beugels (of vice versa, om de beugels maken om dit element te verminderen). De volgende stap moet zijn om Booleaanse algebra eigenschappen ten uitvoer te doen (absorptie-eigenschappen nul en één, en t.).

Uiteindelijk moet de vergelijking uit minimaal aantal onbekenden, gecombineerd met eenvoudige handelingen. De makkelijkste manier om te zoeken naar een oplossing, als je een groot aantal dicht negatieven te maken. Dan zal het antwoord pop-up als vanzelf.