Fourier-reeks: de geschiedenis en de invloed van de wiskundige mechanisme voor de ontwikkeling van de wetenschap

Fourier series - dit aanzicht willekeurig gekozen dient om de periode rij. In het algemeen wordt deze oplossing genoemd spreidelement op een orthogonale basis. De uitbreiding van de functies in Fourier-reeks is een heel krachtig hulpmiddel voor het oplossen van verschillende problemen als gevolg van de eigenschappen van de transformatie in de integratie, differentiatie, evenals een verschuiving in het argument expressie en convolutie.

Een persoon die niet vertrouwd is met de hogere wiskunde, alsook met de werken van de Franse wetenschapper Fourier, waarschijnlijk niet begrijpen wat de "rangen" en wat ze doen. Toch is deze transformatie is vrij stevig in ons leven kwam. Het wordt niet alleen gebruikt wiskunde, maar ook fysici, chemici, artsen, astronomen, seismologen, oceanografen en anderen. Laten we een kijkje bij de werken van de grote Franse wetenschapper die de ontdekking deed, met een voorsprong van zijn tijd in beslag nemen ook.

De man en de Fourier-transformatie

Fourier reeks is één van de methoden (met analyse en meer) van de Fourier-transformatie. Dit proces vindt plaats elke keer dat een persoon hoort geen geluid. Onze oor automatisch converteert de geluidsgolf. Oscillerende beweging van elementaire deeltjes in een elastisch medium worden geëxpandeerd in de reeks (het spectrum) opeenvolgende volumewaarden voor tonen van verschillende hoogtes. Vervolgens worden de hersenen zet deze gegevens in vertrouwde geluiden voor ons. Dit alles is in aanvulling op onze wens of het bewustzijn zelf, maar om de processen die enkele jaren duren voor hogere wiskunde te studeren begrijpen.

Lees meer over de Fourier-transformatie

De Fourier transformatie kan analytisch, cijfers en andere methoden worden uitgevoerd. Fourier serie verwijzingscijfer Werkwijze voor het ontleden van elke oscillerende processen - van de getijden en golven van het licht om zonne cycli (en andere hemellichamen) activiteit. Met behulp van deze wiskundige technieken is het mogelijk om de functie te demonteren, ze vertegenwoordigen oscillerende processen in een aantal sinusoïdale componenten die gaan van minimum tot maximum en vice versa. De Fourier transformatie een functie beschrijft de fase en amplitude van sinusoïden over een bepaalde frequentie. Deze werkwijze kan worden gebruikt voor het oplossen van complexe vergelijkingen die de dynamische processen die onder invloed van warmte, licht of elektrische energie te beschrijven. Ook de Fourier-reeks wordt gebruikt om DC-componenten te onderscheiden in complexe golfvormen, waardoor het mogelijk is om de experimentele waarnemingen in de geneeskunde, scheikunde en sterrenkunde correct te interpreteren.

historische informatie

De grondlegger van deze theorie is de Franse wiskundige Zhan Batist Zhozef Fure. Zijn naam later en deze transformatie is genoemd. Aanvankelijk wetenschappers gebruikt een techniek te bestuderen en het mechanisme van thermische geleiding te leggen - warmtevoorplanting in vaste stoffen. Fourier suggereerde dat de aanvankelijke onregelmatige verdeling van de thermische golf kan worden ontleed in eenvoudige sinusoïde, die elk de temperatuur minimum en maximum, alsmede de fase hebben. Dus dat bestanddeel te meten van licht tot en vice versa. De mathematische functie die de bovenste en onderste pieken van de curve beschrijft, en de fase van elke harmonische, genaamd de Fouriertransformatie van de temperatuurverdeling van expressie. De auteur van de theorie van verminderde totale verdelingsfunctie die moeilijk te mathematische beschrijving, in een zeer eenvoudig om een aantal verwerken van periodieke functies van sinus en cosinus in de hoeveelheid die de initiële verdeling.

Het principe van de omzetting en de standpunten van tijdgenoten

Tijdgenoten van de wetenschapper - de grootste wiskundigen van de vroege negentiende eeuw - heeft deze theorie niet te accepteren. Het belangrijkste bezwaar is de goedkeuring van Fourier dat de discontinue functie beschrijft een rechte lijn of kromme is gescheurd, kan worden weergegeven als een som van sinusvormige expressies die continu zijn. Als voorbeeld, overweeg een "stap" Heaviside-: de waarde nul aan de linkerzijde van de tussenruimte en een aan de rechterkant. Deze functie beschrijft de afhankelijkheid van elektrische stroom op de tijdsvariabele voor de afsluiting keten. Moderne theorie dat moment nog nooit zo'n situatie, wanneer een discontinue expressie zal worden beschreven door een combinatie van continue gemeenschappelijke functies, bijvoorbeeld exponentiële, sinus, lineaire of kwadratische aangetroffen.

Wat stoorde de Franse wiskundigen in de theorie van de Fourier?

Immers, indien een wiskundige goede gronden was dan het optellen van een oneindige trigonometrische Fourier-reeks, is het mogelijk om een nauwkeurige weergave van de stap van expressie te verkrijgen, zelfs als het een reeks vergelijkbare stappen. In het begin van de negentiende eeuw, deze verklaring leek absurd. Maar ondanks alle twijfels, hebben veel wiskundigen de reikwijdte van het onderzoek van dit fenomeen uitgebreid, het verplaatsen van het buiten de thermische geleiding studies. Echter, de meeste wetenschappers bleef de vraag lijden: "Kan de som van de sinus-serie convergeert naar de exacte waarde van een discontinue functie"

Convergentie van Fourier-reeks: voorbeeld

De kwestie van de convergentie stijgt elke keer dat je de som van een oneindige reeks getallen nodig. overweeg dan een klassiek voorbeeld voor het begrijpen van dit fenomeen. Kunt u ooit de muur te bereiken, als elke stap is de helft van de vorige? Stel dat je op twee meter van het doel, de eerste stap dichter bij ongeveer de helft weg, de volgende - het merk van een driekwart, en na de vijfde, zal je bijna 97 procent van de weg te overwinnen. Echter, ongeacht hoeveel stappen je hebt gedaan niet, het beoogde doel bereikt u in een strikt wiskundige zin. Met behulp van numerieke berekeningen, kunnen we aantonen dat uiteindelijk kan dichter bij een willekeurig klein bepaalde afstand zijn. Dit komt overeen met een bewijs waaruit blijkt dat de totale waarde van een halve, kwart, enzovoort. E. de neiging aan één.

De kwestie van de convergentie: de tweede komst, of het instrument van Lord Kelvin

Herhaaldelijk rees de vraag in de late negentiende eeuw, toen de Fourier-reeks hebben geprobeerd om te gebruiken om de intensiteit van de eb en vloed te voorspellen. Op dat moment werd Lord Kelvin uitgevonden apparaat is een analoge computer waardoor zeelieden marine en koopvaardij monitor is een natuurlijk verschijnsel. Dit mechanisme gedefinieerde reeks fasen en amplituden van de tafelhoogte van de getijden en de overeenkomstige tijdstippen, nauwkeurig afgewogen in de haven gedurende het jaar. Elke parameter een sinuscomponent expressie tij hoogtes en was een van de vaste bestanddelen. De meetresultaten worden toegevoerd aan de rekeninrichting Lord Kelvin, synthetiseren curve die hoogte van het water voorspeld als functie van het volgende jaar. Al snel werden deze curven voor alle havens van de wereld getrokken.

En als het proces zal discontinue functie worden verbroken?

Op dat moment leek duidelijk dat de inrichting voorspellen van een vloedgolf, met veel elementen van de rekening van een groot aantal fasen en amplituden kan berekenen, en dus een meer nauwkeurige voorspelling. Niettemin bleek dat dit patroon niet wordt waargenomen wanneer het getij expressie die wordt gesynthetiseerd, bevatte een scherpe sprong, dat wil zeggen discontinu. Indien de inrichting gegevens invoeren van een lijst van tijdstippen, berekent enkele Fourier-coëfficiënten. Het terugwinnen van de oorspronkelijke functie vanwege de sinusoïdale component (overeenkomstig de vastgestelde coëfficiënten). Het verschil tussen het origineel en de gereconstrueerde expressie kan worden gemeten op elk punt. Wanneer de herhaalde berekeningen en vergelijkingen blijkt dat de waarde van de grootste fout niet verminderd. Zij worden echter gelokaliseerd in het gebied dat overeenkomt met het breekpunt, en enig ander punt naar nul neigen. In 1899 werd dit resultaat bevestigd theoretisch Joshua Willard Gibbs van Yale University.

Convergentie van Fourier-serie en de ontwikkeling van de wiskunde als geheel

Fourier analyse geldt niet expressies met een oneindig aantal bursts op bepaalde intervallen. Algemeen Fourier-reeks, wanneer de oorspronkelijke functie wordt gerepresenteerd door het resultaat van de werkelijke fysieke metingen convergeren. Vragen van de convergentie van dit proces voor specifieke klassen van functies hebben geleid tot nieuwe takken van de wiskunde, zoals de theorie van de veralgemeende functies. Het wordt geassocieerd met namen zoals Schwartz, J .. Mikusiński en J. Temple. Onder deze theorie, is een duidelijke en precieze theoretische basis voor dergelijke expressie vastgesteld als diracdelta (beschrijft het gebied van een enkel gebied, geconcentreerd in een oneindig nabijheid van de punt) en "step" Heaviside. Door dit werk werd Fourier-reeks van toepassing zijn voor het oplossen van vergelijkingen en problemen, die intuïtief begrippen inhouden: puntlading, punt massa, magnetische dipolen, en de geconcentreerde belasting op de balk.

Fouriermethode

Fourier-reeks, in overeenstemming met de principes van interferentie, beginnen met de afbraak van complexe vormen in eenvoudiger. Bijvoorbeeld, een verandering in de warmtestroom door zijn passage door de verscheidene barrières van de warmte-isolatiemateriaal met een onregelmatige vorm of wijzigen grondoppervlak - een aardbeving, een verandering in de baan van het hemellichaam - de invloed van de planeten. Kenmerkend voor deze vergelijkingen die eenvoudige klassieke stelsel elementaire opgelost voor elke afzonderlijke golflengte. Fourier is gebleken dat eenvoudige oplossingen kan worden samengevat als voor complexere taken. In de taal van de wiskunde, Fourier - een methode voor het indienen van expressie som van harmonischen - cosinus- en sinusgolven. Daarom wordt deze analyse ook bekend onder de naam "harmonische analyse".

Fourier-reeks - een ideale methode om de "computer age"

Voorafgaand aan de oprichting van de computertechnologie Fourier-methode is het beste wapen in het arsenaal van wetenschappers werken met de golf aard van onze wereld. Fourier-reeks in complex formulier kunt u niet alleen eenvoudige problemen die vatbaar zijn voor de rechtstreekse toepassing van de wetten van de mechanica van Newton zijn, maar ook de fundamentele vergelijkingen op te lossen. De meeste van de ontdekkingen van de Newtoniaanse wetenschap van de negentiende eeuw werd het mogelijk alleen te wijten aan de Fourier-methode.

Fourier-reeks vandaag

Met de ontwikkeling van Fourier-transformatie computers zijn gestegen naar een nieuw niveau. Deze techniek is stevig verankerd in bijna alle gebieden van wetenschap en technologie. Als voorbeeld, een digitale audio en video. De uitvoering ervan is mede mogelijk gemaakt alleen te danken aan de theorie ontwikkeld door de Franse wiskundige van de vroege negentiende eeuw. Zo is de Fourier-reeks in complexvorm is toegestaan om een doorbraak in de studie van de ruimte. Bovendien heeft de studie van de fysica van halfgeleidermaterialen en plasma, magnetron akoestiek, oceanografie, radar, seismologie beïnvloed.

Trigonometrische Fourierreeks

In wiskunde, een Fourier-reeks een manier die willekeurige complexe functies als een som eenvoudiger. Voor een gewone, kan het aantal uitingen oneindig zijn. Hoe groter het aantal geteld in de berekening, is hoe nauwkeuriger het eindresultaat verkregen. Het meest gebruikt eenvoudige trigonometrische cosinus of sinusfunctie. In dit geval wordt de Fourier-serie genaamd trigonometrische, en de beslissing van zulke uitdrukkingen - harmonische ontleding. Deze methode speelt een belangrijke rol in de wiskunde. Allereerst de trigonometrische reeks een middel voor het beeld, en de studie van functies, is het apparaat van de theorie. Daarnaast is het stelt ons in staat om een aantal problemen in de mathematische fysica op te lossen. Tenslotte heeft deze theorie bijgedragen aan de ontwikkeling van wiskundige analyse, gaf aanleiding tot een aantal belangrijke takken wiskundige wetenschappen (theorie van integralen, de theorie van periodieke functies). Bovendien, het uitgangspunt voor de ontwikkeling van de volgende theorie: reeksen, functies van een reële variabele, functionele analyse, alsmede de basis gelegd voor harmonische analyse.