Dat raakt aan de cirkel? Eigenschappen van de raaklijn aan de cirkel. De gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels

Secants, raaklijnen - al die honderden keren te horen van de geometrie lessen. Maar de kwestie van school achter, langs het jaar, en al deze kennis vergeten. Wat moet ik onthouden?

essence

De term "raakt aan de cirkel" teken, misschien, alles. Maar het is onwaarschijnlijk dat al snel een definitie formuleren. Ondertussen genoemd raaklijn liggen in hetzelfde vlak als de cirkel die het op één punt snijdt. Hun talloze kunnen bestaan, maar ze hebben allemaal dezelfde eigenschappen, die hieronder zal worden besproken. Zoals je kunt raden, het aanspreekpunt verwezen naar de plaats waar de cirkel en de lijn elkaar kruisen. In elk geval is een, als er meer, dan zal het transversale zijn.

De geschiedenis van de ontdekking en studie

Het concept van een tangent verscheen in de oudheid. De constructie van deze lijnen op de eerste cirkel, en vervolgens naar de ellipsen, parabolen en hyperbolen met een liniaal en een kompas nog steeds in de vroege stadia van de ontwikkeling van de geometrie. Natuurlijk heeft de geschiedenis niet behouden de naam van de ontdekker, maar het is duidelijk dat zelfs in die tijd mensen waren bekende eigenschappen van die raakt aan de cirkel.

In de moderne tijd de belangstelling voor dit fenomeen brak opnieuw - begonnen met een nieuwe ronde van de studie van dit concept in combinatie met de opening van nieuwe curves. Zo Galileo introduceerde het concept van de cycloid en Fermat en Descartes bouwde een tangent aan. Wat betreft de cirkels, zo lijkt het, is voor de oude geheimen links in dit gebied.

eigenschappen

Radius gevestigd op het snijpunt wordt loodrecht op de lijn. deze belangrijkste, maar niet de enige eigenschap die raakt aan de cirkel. Een ander belangrijk kenmerk bevat al twee rechte. Dus, door een enkel punt, dat buiten de cirkel ligt, kan men twee raaklijnen tekenen, en hun lengte gelijk. Er is nog een stelling over dit onderwerp, maar het is zelden gehouden in het kader van het reguliere onderwijs natuurlijk, maar het is uiterst nuttig voor het oplossen van bepaalde problemen. Het gaat als volgt. Vanuit een punt buiten de cirkel, trek een raaklijn SECANT aan. Gevormde segmenten AB, AC en AD. A - het snijpunt van lijnen, B het raakpunt, C en D - crossing. In dit geval, de volgende vergelijking geldt: de lengte van de raaklijn aan de cirkel, geregeld, gelijk aan het product van de segmenten AC en AD.

Uit het voorgaande is er een belangrijke consequentie. Voor elk punt van de cirkel, kunt u een tangent te bouwen, maar slechts één. Het bewijs hiervan is vrij eenvoudig: in theorie omlaag om het loodrecht uit de straal, zien we dat de vorming van een driehoek niet kan bestaan. En dat betekent dat de tangens - de enige.

gebouw

Onder andere taken in de meetkunde is een speciale categorie, in de regel niet is geliefd bij de leerlingen en studenten. Om de taken van deze categorie op te lossen alleen maar een kompas en een liniaal. Het is de taak van het gebouw. Er bouwen ze op een tangent.

Dus, gegeven een cirkel en een punt die buiten haar grenzen. En je moet door hen tangent te navigeren. Hoe doe je dat? Allereerst moet u het interval door te brengen tussen het middelpunt van cirkel O en stel punt. Dan, met behulp van een kompas dient te verdelen in de helft. iets meer dan de helft van de afstand tussen het middelpunt van de cirkel en het oorspronkelijke punt - Om dit te doen, moet u de straal in te stellen. Dan moet je twee elkaar kruisende bogen op te bouwen. De straal op de verandering mag niet het kompas, en het midden van elke zijde van de cirkel het oorspronkelijke punt respectievelijk, en o,. Plaatsen bogen kruispunten moeten die sectie gesneden verbinden in de helft. Vraag het kompas straal gelijk aan de afstand. Verder, met het middelpunt op het snijpunt naar een andere cirkel te bouwen. Het zal gebaseerd zijn op zowel het oorspronkelijke punt en O. In dat geval zullen er twee kruispunten dit probleem in een cirkel. Dat ze zullen contactpunten voor de oorspronkelijk opgegeven punt.

interessant

Het is het bouwen van een raaklijn aan de cirkel leidde tot de geboorte differentiaalrekening. Het eerste werk over dit onderwerp werd gepubliceerd door de beroemde Duitse wiskundige Leibniz. Het voorziet in de mogelijkheid van het vinden van de maxima, minima en raaklijnen, ongeacht de fractionele en irrationele hoeveelheden. Nou, nu wordt het gebruikt voor vele andere berekeningen.

Bovendien is de raaklijn aan de cirkel behorende bij de raaklijn geometrische zin. Het is vanuit deze, en zijn naam komt. Vertaald uit het Latijn tangens - "tangent". Aldus is dit concept niet alleen een geometrie en differentiële calculus, maar trigonometrie.

twee cirkels

Niet altijd tangent zatragivet slechts één figuur. Als u een groot aantal lijnen kunnen besteden aan een cirkel, waarom dan niet vice versa? Mogelijk. Dat is gewoon het probleem in dit geval ernstig bemoeilijkt, omdat het raakt aan de twee cirkels niet door een willekeurig punt kunnen passeren, en de relatieve positie van al deze cijfers kunnen erg zijn verschillend.

Soorten en variëteiten

Als het gaat om de twee cirkels en een of meer regels, dan is zelfs als je weet dat het over gaat, is niet meteen duidelijk hoe al deze stukken zijn opgesteld ten opzichte van elkaar. Op basis hiervan zijn er verschillende rassen. Dus, kan de kring één of twee gemeenschappelijke punten, of helemaal geen hebben. In het eerste geval zullen zij overlappen, en de tweede - te raken. En hier zijn twee varianten. Als een cirkel, als het ware ingebed in de tweede, de touch is intern heet zo niet - dan de buitenkant. Begrijpt de relatieve positie van de stukken kan niet alleen worden gebaseerd op de tekening, maar met informatie over de som van de stralen en de afstand tussen hun middelpunten. Als deze twee waarden gelijk zijn, dan is de cirkels raakt. Als de eerste meer - snijden en anderszins - hebben geen gemeenschappelijke punten.

Zo is het ook met rechte lijnen. Voor twee cirkels die geen gemeenschappelijke punten kunnen worden
bouw vier raaklijnen. Twee van hen zullen overlappen tussen de cijfers, worden ze intern genoemd. Een paar andere - extern.

Als we praten over cirkels, die één ding gemeen hebben, is het probleem serieus vereenvoudigd. Het feit is dat in elke onderlinge opstelling, in casu de tangens zij slechts één hebben. En het zal door het snijpunt. Dus dat het gebouw geen problemen zal veroorzaken.

Indien de cijfers twee snijpunten, dan kunnen ze worden gebouwd raaklijn aan de cirkel als een, en de tweede, maar alleen buiten. De oplossing voor dit probleem is vergelijkbaar met wat wordt later besproken.

Inspelen op de uitdagingen

Zowel interne als externe rakend aan de twee cirkels in het gebouw zijn niet zo eenvoudig, maar, en dit probleem is opgelost. Dat het hulppatroon voor dit, dus bedacht dergelijke werkwijze alleen Het is vrij problematisch. Dus, gegeven twee cirkels met verschillende stralen en centreert O1 en O2. Voor hen is de noodzaak om twee paar raaklijnen bouwen.

In de eerste plaats rond het midden van de grotere cirkel te bouwen ondersteunend. Tegelijkertijd op het kompas moet worden het verschil tussen de stralen van de twee originele getallen. Vanuit het centrum van de kleinere cirkel die raakt aan de extra aangelegd. Daarna van O1 en O2 worden gehouden perependikulyary deze rechtstreeks naar de kruising met de originele gegevens. Zoals uit de basiseigenschappen van de raaklijn, worden de vereiste punten vinden op beide cirkels. Het probleem wordt opgelost, althans in het eerste gedeelte.

Met het oog op de interne raaklijnen bouwen tot bijna op te lossen een soortgelijk probleem. Nogmaals, hebben we een hulpfiguur, maar deze keer de straal gelijk is aan de som van het origineel. Om haar te construeren tangent van het centrum van één van deze cirkels. Het verdere verloop van de beschikking kan worden begrepen uit het voorgaande voorbeeld.

Het raakt aan de cirkel, of zelfs twee of meer - is niet zo'n moeilijke taak. Natuurlijk hebben wiskundigen lang niet meer soortgelijke problemen handmatig op te lossen en vertrouwen te berekenen speciale programma's. Maar denk niet dat het nu niet per se in staat zijn om het zelf te doen, want voor een correcte formulering van de opdracht voor de computer om veel te doen en te begrijpen. Helaas zijn er de vrees dat na de definitieve overgang naar de test vorm van kennis controleproblemen bij de bouw van de studenten meer en meer problemen zal veroorzaken.

Voor het vinden van de gemeenschappelijke raaklijnen meer cirkels, is het niet altijd mogelijk, zelfs als zij in hetzelfde vlak liggen. Maar in sommige gevallen is het mogelijk om een dergelijke lijn te vinden.

praktijkvoorbeelden

De gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels wordt vaak gevonden in de praktijk, maar het is niet altijd duidelijk. Transportbanden, modulaire systemen, drijfriemen riemschijven spanning van de draad in een naaimachine, maar ook slechts fietsketting - voorbeelden van leven. Dus denk niet dat meetkundige problemen blijven alleen in theorie: in engineering, fysica, de bouw en vele andere gebieden zijn in praktisch gebruik.