De eigenschappen van de logaritmes, of de verrassende ...

De behoefte aan berekening verscheen direct in een persoon, zodra hij een kwantitatieve beoordeling van de omliggende objecten kon geven. Men kan ervan uitgaan dat de logica van kwantitatieve evaluatie geleidelijk heeft geleid tot de noodzaak van berekeningen zoals "additie-subtractie". Deze twee elementaire acties zijn aanvankelijk basisch - alle andere manipulaties met getallen, bekend als vermenigvuldiging, verdeling, exponentiatie , enz. - dit is een eenvoudige "mechanisatie" van sommige computergalgoritmen, gebaseerd op de eenvoudigste rekenkunde - "add-subtract". Wat het ook al was, maar het creëren van algoritmes voor het berekenen is een belangrijke prestatie van de gedachte, en hun auteurs verliezen voor altijd hun herinnering aan de mensheid.

Zes of zeven eeuwen geleden, op het gebied van mariene navigatie en astronomie, is de behoefte aan grote hoeveelheden berekeningen toegenomen, wat niet verwonderlijk is omdat Het is de middeleeuwen die bekend staat om de ontwikkeling van navigatie en sterrenkunde. In exacte overeenstemming met de zin "de behoefte genereert een zin" van verschillende wiskundigen, kwam het idee op - om de zeer moeizame operatie van het vermenigvuldigen van twee getallen te vervangen door een eenvoudige toevoeging (het idee van de vervanging van de deling door aftrekking werd tweevoud overwogen). De werkversie van het nieuwe systeem van berekeningen werd in 1614 uiteengezet in het werk van John Napier met de zeer opmerkelijke titel "Beschrijving van de geweldige tabel van logaritmes". Natuurlijk bleef verdere verbetering van het nieuwe systeem doorgaan, maar de basiseigenschappen van de logaritmen werden door Neper uitgelegd. Het idee van een berekeningssysteem met behulp van logaritmen was dat als een reeks getallen een geometrische progressie vormt, dan vormen hun logaritmen ook een progressie, maar een rekenkundige. In de aanwezigheid van vooraf samengestelde tabellen vereenvoudigde een nieuwe rekenmethode de berekeningen, en de eerste logaritmische liniaal (1620 ) werd misschien de eerste oude en zeer effectieve rekenmachine, een onontbeerlijk technisch instrument.

Voor pioniers is de weg altijd hobbelig. Aanvankelijk werd de basis van het logaritme niet succesvol genomen en de nauwkeurigheid van de berekeningen was niet hoog, maar al in 1624 werden de herziene tabellen met decimale basis gepubliceerd. De eigenschappen van de logaritmen vloeien uit de kern van de definitie: de logaritme van het getal b is het getal C, dat de kracht van de basis van het logaritme (het getal A) resulteert in het getal b. De klassieke variant van de ingang ziet er als volgt uit: logA (b) = C - wat wordt als volgt gelezen: logaritme b, aan de basis van A, is het getal C. Om acties uit te voeren die niet behoorlijk gewone logaritmische getallen hebben, moet u een bepaalde set regels kennen die bekend staan als "eigenschappen Logaritmen ". In principe hebben alle regels een gemeenschappelijke implicatie - hoe u logaritmen kunt toevoegen, aftrekken en transformeren. Nu zullen we leren hoe het te doen is.

Logaritmische nul en eenheid

1. logA (1) = 0, is de logaritme van het nummer 1 gelijk aan 0, om welke reden dan ook - dit is een direct gevolg van het verhogen van het getal op nul vermogen.

2. logA (A) = 1, de logaritme van hetzelfde nummer met de basis is 1 is ook een bekende waarheid voor elk nummer in de eerste graad.

Toevoeging en aftrekking van logaritmes

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - de som van de logaritmen van meerdere getallen is gelijk aan de logaritme van hun product.

4. LogA (m) - logA (n) = logA (m / n) - het verschil tussen de logaritmes van nummers, gelijk aan de vorige, is gelijk aan de logaritme van de verhouding van deze nummers.

5. logA (1 / n) = - logA (n), de logaritme van het inverse getal is gelijk aan de logaritme van dit nummer met een minusteken. Het is gemakkelijk om te zien dat dit het gevolg is van de vorige uitdrukking 4 voor m = 1.

Het is makkelijk te zien dat regels 3-5 in beide delen van gelijkenissen dezelfde basis van het logaritme aannemen.

De exponenten in logaritmische expressies

6. logA (mn) = n * logA (m), de logaritme van een aantal n is gelijk aan de logaritme van dit getal vermenigvuldigd met een exponent van graad n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), dat wordt gelezen als "de logaritme van het getal b, als de basis de vorm Ac heeft, is gelijk aan het product van de logaritme b met de basis A en de inverse van c".

De formule voor het veranderen van de basis van het logaritme

8. LogA (b) = logC (b) / logc (A), de logaritme van het getal b met basis A op basis C wordt berekend als de partiële logaritme b met basis C en het logaritme met basis C van het getal gelijk aan de vorige basis A en Met een minusteken.

De bovenstaande logaritmes en hun eigenschappen maken het mogelijk om met de juiste toepassing de berekening van grote numerieke arrays te vereenvoudigen, waardoor de tijd van numerieke berekeningen wordt verminderd en aanvaardbare nauwkeurigheid wordt verschaft.

Het is helemaal niet verbazingwekkend dat in de wetenschap en technologie de eigenschappen van de logaritmen van getallen worden gebruikt voor een meer natuurlijke weergave van fysieke verschijnselen. Het is bijvoorbeeld algemeen bekend om de relatieve waarden te gebruiken - decibel voor het meten van de intensiteit van geluid en licht in de natuurkunde, absolute sterrengrootte in sterrenkunde, pH in chemie, enz.

De efficiëntie van logaritmische berekeningen is makkelijk te verifiëren als men bijvoorbeeld 3 vijfcijferige getallen "handmatig" (in een kolom) vermenigvuldigt, met behulp van tabletten van logaritmen op een vel papier en met behulp van een logaritmische liniaal. Het is voldoende om te zeggen dat in het laatste geval de berekeningen ongeveer 10 seconden duren. Wat het meest verrassend is, is dat op een moderne rekenmachine deze berekeningen minder tijd kosten.