Diagonal gelijkzijdige trapezium. Wat is de middelste lijn van de trapezium. Soorten trapezia. Trapeze - it ..

Trapeze - een speciaal geval van een vierhoek, waarbij één paar zijden parallel. De term "trapezium" is afgeleid van het Griekse woord τράπεζα, wat betekent "tafel", "tafel". In dit artikel zullen we kijken naar vormen van trapeze en de eigenschappen ervan. Ook kijken we naar hoe de individuele elementen van de berekening van geometrische figuur. Bijvoorbeeld de diagonaal van een gelijkbenige trapezium, de middelste lijn, de stippellijn anderen. Het materiaal in de elementaire meetkunde populaire stijl, t. E. gemakkelijk toegankelijke wijze.

Overzicht

Laten we eerst begrijpen wat een vierhoek. Deze figuur is een speciaal geval van een veelhoek met vier zijden en vier hoekpunten. Twee hoekpunten van een vierhoek, die niet grenzen aan tegenover genoemd. Hetzelfde kan gezegd worden van de twee niet-aangrenzende zijden. De belangrijkste soorten vierhoeken - een parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant, trapezium en deltaspier.

Dus terug naar de trapeze. Zoals gezegd, dit cijfer beide zijden evenwijdig. Ze zijn genoemd bases. De andere twee (niet-parallel) - de zijkanten. De materialen van de verschillende analyses en onderzoeken heel vaak kun je uitdagingen in verband met trapezia wiens oplossing vereist vaak de kennis van de student niet onder het programma te voldoen. School Course geometrie introduceert leerlingen met hoeken eigenschappen en diagonalen, evenals de middellijn van een gelijkbenige trapezium. Maar anders dan dat verwees naar een geometrische vorm heeft andere kenmerken. Maar over hen later ...

types trapeze

Er zijn vele soorten van deze figuur. Echter, de meeste vaak de gewoonte om te overwegen twee van hen - gelijkbenige en rechthoekige.

1. Rechthoekige trapezium - een figuur waarin een van de zijden loodrecht op de basis. Ze heeft twee hoeken zijn altijd gelijk aan negentig graden.

2. gelijkbenig trapezium - een geometrische figuur waarvan de zijden gelijk zijn. Zo, en de hoeken aan de basis ook gelijk zijn.

De belangrijkste principes van de methoden voor het bestuderen van de eigenschappen van de trapezium

De basisprincipes omvatten het gebruik van de zogenaamde taak aanpak. In feite is er geen noodzaak tot een theoretische cursus Geometrie van nieuwe eigenschappen van dit cijfer te gaan. Ze kunnen open of in het proces van het formuleren van de verschillende taken (beter systeem). Het is zeer belangrijk dat de leraar weet wat taken die u nodig hebt in de voorkant van de studenten te zetten op een gegeven moment van het leerproces. Bovendien kan elke trapezoïde objecten worden gerepresenteerd als een belangrijke taak in het taaksysteem.

Het tweede principe is de zogenaamde spiraal organisatie van de studie "opmerkelijke" trapeze eigenschappen. Dit impliceert een terugkeer naar het proces van het leren van de individuele kenmerken van de geometrische figuur. Zo kunnen de leerlingen makkelijker om ze te onthouden. Bijvoorbeeld, de eigendom van de vier punten. Kan worden aangetoond zoals in de studie van overeenkomst en vervolgens gebruikend vectoren. Een gelijke driehoeken nabij de zijkanten van de figuur, is het mogelijk aan te tonen door niet alleen de eigenschappen van driehoeken met gelijke hoogte uitgevoerd om de zijden waarvan liggen op een rechte lijn, maar ook met de formule S = 1/2 (ab * sina). Verder is het mogelijk uit te werken de sinusregel aan de ingeschreven trapezium of rechthoekige driehoek en trapezium in t beschreven. D.

Het gebruik van de "buitenschoolse" is voorzien van een geometrische figuur in de inhoud van de school natuurlijk - een tasking hun technologie onderwijs. Constant verwijzing naar de eigenschappen van de passage van de andere te bestuderen de leerlingen de trapeze dieper leren en zorgt voor het succes van de taak. Dus, gaan we verder met het onderzoek naar deze opmerkelijke figuur.

Elementen en eigenschappen van een gelijkbenige trapezium

Zoals we hebben opgemerkt, in dit geometrische figuur zijden gelijk. Toch is het bekend als een recht trapezium. En wat is het zo opmerkelijk en waarom zijn naam kreeg? Bijzonderheden van deze figuur betreft dat zij niet alleen gelijke zijden en hoeken aan de basis, maar ook diagonaal. Bovendien is de som van de hoeken van een gelijkbenig trapezium is gelijk aan 360 graden. Maar dat is nog niet alles! Slechts ongeveer gelijkbenige kan worden beschreven door een cirkel van alle bekende trapezia. Dit komt door het feit dat de som van tegengestelde hoeken in deze figuur is 180 graden en alleen onder deze voorwaarde kan worden omschreven als een cirkel rond de vierhoek. De volgende eigenschappen van de geometrische figuur is de afstand van de bovenkant van de basis naar de projectie van de tegenoverliggende punten op de lijn die bevat deze basis zal gelijk zijn aan de middellijn zijn.

Laten we nu eens kijken hoe de hoeken van een gelijkbenige trapezium vinden. Overweeg een oplossing voor dit probleem, mits de grootte van het haar bekende figuur.

beslissing

Het is gebruikelijk om de vierhoek letters A, B, C, D, waar de BS en BP duiden - een fundering. In een gelijkbenig trapezium zijden gelijk. We nemen aan dat de grootte gelijk is aan X en Y afmetingen bases en Z (kleinere en grotere, respectievelijk). Voor de berekening van de hoek van de noodzaak om te brengen in de hoogte H Het resultaat is een rechthoekige driehoek waarbij ABN AB - de hypotenusa en BN en AN - de benen. Berekenen van de grootte van been AN: aftrekken van de grotere basis minimaal, en het resultaat wordt gedeeld door 2. brief formule (zy) / 2 = F. Om nu de scherpe hoek van de driehoek gebruiksfunctie cos berekenen. Verkrijgen we de volgende gegevens: cos (β) = X / F. Berekenen de hoek: β = arcos (X / F). Verder weten een hoek, kunnen we bepalen en ten tweede om deze elementaire rekenkundige bewerking te maken: 180 - β. Alle hoeken worden gedefinieerd.

Er is ook een tweede oplossing van dit probleem. Aan het begin wordt weggelaten uit de hoek van de hoogte van het been N. berekent de waarde van BN. We weten dat het kwadraat van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden. We krijgen: BN = √ (X2 F2). Vervolgens gebruiken we de goniometrische functie tg. Het resultaat is: β = arctg (BN / F). De scherpe hoek wordt gevonden. Vervolgens definiëren we een stompe hoek als bij de eerste methode.

Het pand van de diagonalen van een gelijkbenige trapezium

Ten eerste, schrijven we de vier regels. Als de diagonale in een gelijkbenig trapezium loodrecht, dan:

- de hoogte van het bedrag gelijk aan de som van basen, gedeeld door twee;

- de hoogte en de middellijn gelijk;

- oppervlakte van het trapezium is gelijk aan het kwadraat van de lengte (hartlijn helft basen);

- het kwadraat van de diagonaal van een vierkant is gelijk aan de halve som van tweemaal de vierkante basis of middellijn (hoogte).

Kijk nu eens naar de formule definiëren van de diagonaal een gelijkzijdige trapezium. Dit onderdeel kan worden onderverdeeld in vier delen:

1. Formule diagonale lengte via de zijkant.

We nemen aan dat A - een onderste basis, B - Top, C - gelijke zijden, D - diagonaal. In dit geval kan de lengte als volgt bepaald:

D = √ (C2 + A * B).

2. Formule voor de diagonale lengte van de cosinus.

We nemen aan dat A - een onderste basis, B - Top, C - gelijke zijden, D - diagonaal, α (aan de onderste basis) en β (de bovenbasis) - trapezium hoeken. Krijgen we de volgende formule, waarbij men de lengte van de diagonaal te berekenen:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cos);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosa).

3. Formule diagonale lengte van een gelijkbenig trapezium.

We nemen aan dat A - een onderste basis, B - hoger, D - diagonaal, M - middellijn H - hoogte, P - gebied van het trapezium, α en β - de hoek tussen diagonalen. Bepalen de lengte van de volgende formules:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H + 2 (A + B) 04/02);

- D = √ (N (A + B) / sina) = √ (2n / sina) = √ (2M * N / sina).

Voor dit geval is de gelijkheid: sina = sinβ.

4. Formule diagonale lengte via de zijkanten en hoogte.

We nemen aan dat A - een onderste basis, B - Top, C - zijkanten, D - diagonaal, H - hoogte, α - hoek met de onderste basis.

Bepalen de lengte van de volgende formules:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementen en eigenschappen van een rechthoekig trapezium

Laten we eens kijken naar wat zijn die geïnteresseerd zijn in deze geometrische figuur. Zoals gezegd, hebben wij een rechthoekig trapezium twee rechte hoeken.

Naast de klassieke definitie, zijn er anderen. Bijvoorbeeld een rechthoekig trapezium - een trapezium, waarbij een zijde loodrecht op de basis. Of vorm ten zijkant hoeken. Bij dit type trapezoïden hoogte is de zijde die loodrecht op de basis. De middellijn - een segment dat de middens van de twee zijden verbindt. De eigenschap van het element dat parallel aan de bases en gelijk aan de helft van de som.

Laten we nu eens kijken naar de fundamentele formules die de geometrische vormen te definiëren. Om dit te doen, gaan we ervan uit dat A en B - base; C (loodrecht op de basis) en D - zijden van de rechthoekige trapezium, M - middellijn, α - scherpe hoek P - gebied.

1. De zijde loodrecht op de basis, een bedrag gelijk aan de hoogte (C = N), en is gelijk aan de lengte van de tweede zijde A en de sinus van de hoek α met een grotere basis (C = A * sina). Bovendien is gelijk aan het product van de tangens van de scherpe hoek α en het verschil in basen: C = (A-B) * tgα.

2. De zijdelingse D (niet loodrecht op de basis) gelijk is aan het quotiënt van het verschil tussen A en B en cos (α) of een scherpe hoek met de private hoogte figuren H en sine scherpe hoek: A = (A-B) / cos α = C / sina.

3. De zijde die loodrecht op de basis, is gelijk aan de vierkantswortel uit het kwadraat van het verschil D - de tweede zijde - en een vierkante basis verschillen:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Kant A rechthoekig trapezium is gelijk aan de vierkantswortel van een kwadratische van een vierkantszijde C en basen geometrische vorm verschil: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. De zijkant C is gelijk aan het quotiënt van het kwadraat dubbele de som van de basen: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Het gebied gedefinieerd door het product M (de middellijn van de rechthoekige trapezium) hoog of zijwaartse richting loodrecht op de bases: P = M * N = M * C.

7. Plaats C is het quotiënt van tweemaal de vierkante vorm van het product sine scherpe hoek en de som van de basen: C = P / M * sina = 2P / ((A + B) * sina).

8. Formule zijde van een rechthoekig trapezium met de diagonaal, en de hoek daartussen:

- sina = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sina = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

waarbij D1 en D2 - diagonaal van de trapezoïde; α en β - de hoek tussen hen.

9. Formule zijde over een hoek aan de onderste basis cs: A = (A-B) / cosa = C / sina = H / sina.

Aangezien het trapezium met rechte hoeken is een bijzonder geval van het trapezium, de andere formules dat deze cijfers bepalen, zal ontmoeten en rechthoekig.

Properties incircle

Als de aandoening wordt gezegd dat in een rechthoekig trapezium ingeschreven cirkel, dan kunt u de volgende eigenschappen gebruiken:

- de hoeveelheid base is de som van de zijden;

- afstand van de bovenzijde van de rechthoekige vorm van de raakpunten van de ingeschreven cirkel is altijd gelijk;

- hoogte van het trapezium is gelijk aan de zijkant, loodrecht op de basis, en is gelijk aan de diameter van de cirkel ;

- het cirkelmiddelpunt is het punt waarop snijdt middelloodlijnen hoeken ;

- indien de zijkant van het contactpunt wordt verdeeld in stukken N en M, dan de straal van de cirkel gelijk aan de vierkantswortel van het product van deze segmenten;

- vierhoek gevormd door de contactpunten, de top van de trapezoïde en het middelpunt van de ingeschreven cirkel - is een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan de straal;

- gebied van de figuur is het product van de rede en het product van de halve som van basen op de hoogte.

Vergelijkbare trapeze

Dit onderwerp is zeer nuttig voor het bestuderen van de eigenschappen van geometrische figuren. Bijvoorbeeld de diagonaal gesplitst in vier driehoeken trapezium en grenzen aan de basis van dergelijke, en naar opzij - gelijke. Deze verklaring kan worden genoemd een eigenschap van driehoeken, die is gebroken trapeze zijn diagonalen. Het eerste deel van deze verklaring wordt bewezen door het teken van de gelijkenis tussen de twee hoeken. Om te bewijzen het tweede deel is het beter om de werkwijze hieronder beschreven gebruikt.

het bewijs

Accepteer dat cijfer ABSD (AD en BC - de basis van het trapezium) is gebroken diagonalen HP en AC. Het snijpunt - O. We krijgen vier driehoeken: AOC - op de lagere basis, BOS - de bovenste basis, ABO en SOD aan de zijkanten. Driehoeken SOD en biofeedback een gemeenschappelijke lengte in dat geval, wanneer de segmenten van BO en OD hun bases. We zien dat het verschil van de oppervlakten (P) gelijk aan het verschil van deze segmenten: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Bijgevolg PSOD = PBOS / K. Ook de driehoeken AOB en biofeedback een gemeenschappelijke hoogte. Aanvaard vanwege hun voetsegmenten SB en OA. We krijgen PBOS / PAOB = CO / OA = K en PAOB = PBOS / K. Hieruit volgt dat PSOD = PAOB.

Om te consolideren het materiaal studenten worden aangemoedigd om een verbinding tussen de gebieden van driehoeken verkregen, welk wordt broken trapeze zijn diagonalen, het bepalen van de volgende taak te vinden. Het is bekend dat driehoeken BOS en ADP gebieden gelijk zijn, is het noodzakelijk om de oppervlakte van een trapezium zijn. Aangezien PSOD = PAOB, dan PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Van de overeenstemming van driehoeken BOS en ANM volgt dat BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Bijgevolg PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Krijg PSOD = √ (* PBOS PAOD). Vervolgens PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

eigenschappen gelijkenis

Voortzetting van dit thema te ontwikkelen, is het mogelijk om aan te tonen, en andere interessante kenmerken van de trapezia. Dus, met behulp van de gelijkenis aantoont eigendom segment, dat door het punt wordt gevormd door het snijpunt van de diagonalen van de geometrische figuur geeft een parallel aan de grond. Hiervoor zullen we dit probleem: het is noodzakelijk om de lengte RK-segment dat door het punt O. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken ADP en SPU geeft een voorbeeld volgt dat de AO / OS = AD / BS. Van de overeenstemming van driehoeken ADP en ASB volgt dat AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Dit impliceert dat de BS * PO = AD / (AD + BC). Evenzo de gelijkenis van driehoeken MLC en ABR volgt dat OK * BP = BS / (BP + BS). Dit impliceert dat de OC en RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment die door het snijpunt van de diagonalen evenwijdig aan de basis en die de twee zijden, wordt het snijpunt in tweeën. Zijn lengte - is het harmonisch gemiddelde van de rede figuren.

Denk aan de volgende kenmerken van een trapezium, die de eigenschap van vier punten wordt genoemd. het snijpunt van de diagonalen (D), het snijpunt van het verlengde van de zijkanten (E) en mid-basen (T en G) altijd liggen op dezelfde lijn. Het is gemakkelijk om de gelijkenis methode te bewijzen. De resulterende driehoeken zijn vergelijkbaar BES en AED en elk een mediane ET DLY en verdeel de tophoek E in gelijke delen. Dus punt E, T en F zijn collineair. Evenzo op dezelfde lijn zijn aangebracht met betrekking tot T, O en G. Dit blijkt uit de overeenstemming van driehoeken BOS en ANM. Derhalve concluderen wij dat alle vier termen - E, T, O en F - op een rechte lijn liggen.

Toepassing van vergelijkbare trapeziumvormig, kunnen worden aangeboden aan de leerlingen kan de lengte van het segment (LF), waarbij de figuur verdeelt in twee gelijke vinden. Dit deelstuk moet evenwijdig aan de bases. Aangezien de ontvangen trapezoïde ALFD LBSF en dergelijke, de BS / LF = LF / AD. Dit betekent dat LF = √ (BS * BP). We concluderen dat het segment dat verdeelt in twee trapezium dergelijke, heeft een lengte die gelijk is aan het geometrische gemiddelde van de lengten van de basen figuur.

Overweeg de volgende overeenkomstige eigenschap. Op zijn basis ligt een segment dat de trapezium verdeelt in twee gelijkgrootte figuren. Wij gaan ervan uit dat de trapezoïde van ABSD is verdeeld door een deel van EH in twee soortgelijke. Een hoogte wordt gedaald van de hoek B, die door een segment EH wordt verdeeld in twee delen - B1 en B2. We krijgen: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 en PABSD = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2. Vervolgens maken we een systeem op waarvan de eerste vergelijking (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 en de tweede (BS + EH) * B1 = (BS + AD) * (B1 + B2) / 2 is. Vandaar volgt dat B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) en BS + EH = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). We zien dat de lengte van het segment dat het trapezium verdeelt in twee gelijke delen gelijk is aan de gemiddelde vierkantswortellengte: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Vergelijkingsconclusies

Zo hebben we bewezen dat:

1. Het segment dat aan het trapezium van het midden van de zijzijden verbindt, is parallel aan de arteriële en BS en is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de BS en AD (de lengte van de basis van het trapezium).

2. De lijn die door het punt O van het snijpunt van de diagonalen parallel met de AD en BS loopt, is gelijk aan de gemiddelde harmonie van de aantallen AD en BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Het segment dat het trapezium verdeelt in soortgelijke, heeft de lengte van de gemiddelde geometrische basen van de BS en AD.

4. Het element dat het cijfer in twee gelijke delen verdeelt, heeft de lengte van het gemiddelde vierkant van de cijfers AD en BS.

Om het materiaal te consolideren en de verbinding tussen de onderzochte segmenten te realiseren, moet de student ze bouwen voor een specifiek trapezium. Het kan de middelste lijn en het segment dat passeert door punt O - de kruising van de diagonalen van het figuur - evenwijdig aan de basen. Maar waar zal de derde en vierde zijn? Dit antwoord zal de student leiden tot de ontdekking van de gewenste verbinding tussen de gemiddelde waarden.

Het segment verbindt de middelpunten van de diagonalen van het trapezium

Overweeg het volgende eigendom van deze figuur. We gaan ervan uit dat het segment MN evenwijdig aan de bases is en de diagonalen in de helft verdeelt. De kruispunten worden W en W genoemd. Dit segment zal gelijk zijn aan het basishelftverschil. Laten we dit in meer detail analyseren. De MS is de middelste lijn van de driehoek ABC, het is gelijk aan BS / 2. MN is de middelste regel van de driehoek ABD, het is gelijk aan AD / 2. Dan krijgen we dat M, = MN-MN, en dus M, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Zwaartepunt

Laten we eens kijken hoe dit element is gedefinieerd voor een gegeven geometrische figuur. Hiervoor is het nodig om de basen in tegengestelde richtingen te verlengen. Wat betekent dit? Het is noodzakelijk om de onderkant aan de bovenkant te voegen - aan weerszijden, bijvoorbeeld naar rechts. En de bodem wordt verlengd door de lengte van de linkerbovenhoek. Verbind ze dan met een diagonaal. Het snijpunt van dit segment met de middellijn van de figuur is het zwaartepunt van het trapezium.

Ingeschreven en beschreven trapeziums

Laten we de kenmerken van dergelijke cijfers vermelden:

1. Een trapezium kan alleen in een cirkel worden ingebracht als het eenzijdig is.

2. Rond de omtrek kan men een trapezium beschrijven, mits de som van de lengten van hun basen gelijk is aan de som van de lengten van de zijwanden.

Gevolgen van de ingeschreven cirkel:

1. De hoogte van het beschreven trapezium is altijd gelijk aan twee radiussen.

2. De zijdelingse zijde van het beschreven trapezium wordt in de juiste hoek van het midden van de cirkel waargenomen.

Het eerste gevolg is duidelijk, en om de tweede te bewijzen is het nodig om vast te stellen dat de hoek van het SOD direct is, wat in feite ook niet veel moeite inhoudt. Maar kennis van deze eigenschap zal ons toestaan om een rechthoekige driehoek toe te passen bij het oplossen van problemen.

Laten we nu deze gevolgen concretiseren voor een onverschillig trapezium, dat in een cirkel is ingeschreven. We weten dat de hoogte het geometrische gemiddelde van de basis van de figuur is: H = 2R = √ (BS * AD). Uitwerken van de basismethode voor het oplossen van problemen voor trapezoïden (het principe van het houden van twee hoogten), de student moet de volgende taak oplossen. We gaan ervan uit dat BT de hoogte is van een gelijkbeeldbeeld van ABSD. Er zijn segmenten AT en TD nodig. Als u de bovenstaande formule toepast, is dit niet moeilijk om te doen.

Laten we nu bepalen hoe de straal van een cirkel wordt bepaald met behulp van het beschreven trapezium. We verlagen de hoogte van de top B naar de basis van de bloeddruk. Aangezien de cirkel in het trapezium is ingeschreven, dan BS + AD = 2AB of AB = (BS + AD) / 2. Van de driehoek ABN vinden we sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. We krijgen de PABSD = (BS + AD) * R, het volgt dat R = PABSD / (BS + AD).

.

Alle formules van de middenlijn van het trapezium

Nu is het tijd om naar het laatste element van deze geometrische figuur te gaan. Laten we eens kijken wat de middellijn van de trapezoïde (M) is:

1. Via de bases: M = (A + B) / 2.

2. Door middel van hoogte, basis en hoeken:

• M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Door de hoogte, de diagonalen en de hoek tussen hen. D1 en D2 zijn bijvoorbeeld diagonalen van het trapezium; Α, β zijn de hoeken tussen hen:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Door het gebied en de hoogte: M = P / H.