Reële getallen en hun eigenschappen

Pythagoras beweerde dat het nummer is het fundament van de wereld op een lijn met de belangrijkste elementen. Plato geloofde dat het aantal links het fenomeen en noumenon, het helpen om te weten, te wegen en om conclusies te trekken. Rekenen komt van het woord "arifmos" - het nummer, het uitgangspunt in de wiskunde. Het is mogelijk om een object te beschrijven - van elementaire naar Apple abstracte ruimten.

Behoeften als een ontwikkeling factor

In de beginfase van de ontwikkeling van de samenleving de behoeften van mensen beperkt door de noodzaak om de score bij te houden - .. Een zakje van graan, twee graan zak, enz. Om dit te doen, was het natuurlijke getallen, de set die een oneindige reeks van positieve gehele getallen N.

Later, de ontwikkeling van de wiskunde als wetenschap, was het noodzakelijk op het specifieke gebied van gehele getallen Z - het omvat negatieve waarden en nul. Zijn verschijning op nationaal niveau, werd veroorzaakt door het feit dat de eerste verwerking moesten de schulden en verliezen een of andere manier op te lossen. Op een wetenschappelijk niveau, hebben negatieve getallen het mogelijk gemaakt om eenvoudig op te lossen lineaire vergelijkingen. Onder andere is het nu mogelijk om een beeld triviale coördinatensysteem, bijv. A. Er werd een referentiepunt.

De volgende stap was de noodzaak om de fractionele getallen in te voeren, omdat de wetenschap staat niet stil, meer en meer nieuwe ontdekkingen eiste een theoretische basis voor een nieuwe impuls groei. Zo was er een veld van rationele getallen Q.

Tot slot, niet meer voldoen aan de eisen van de rationaliteit, omdat alle nieuwe bevindingen rechtvaardiging nodig. Er waren een veld van reële getallen R, de werken van incommensurabiliteit van bepaalde hoeveelheden vanwege hun irrationaliteit Euclides. Dat wil zeggen de oude Griekse wiskundige telkens niet alleen nummer als een constante, maar als een abstracte waarde die wordt gekenmerkt door de verhouding van onvergelijkbare grootheden. Vanwege het feit dat er reële getallen, "we zagen het licht" waarden als "pi" en "e", zonder welke de moderne wiskunde niet had kunnen plaatsvinden.

De laatste innovatie is een complex getal C. Het beantwoordt een reeks vragen en weerlegd eerder ingevoerde postulaten. Als gevolg van de snelle ontwikkeling van algebra resultaat was voorspelbaar - met reële getallen, de beslissing van vele problemen niet mogelijk was. Bijvoorbeeld, dankzij de complexe getallen stond snaartheorie en chaos uitgebreide vergelijkingen van de hydrodynamica.

Set Theory. kantor

Het concept van oneindigheid heeft altijd veroorzaakt controverse, omdat het onmogelijk was om te bewijzen of te weerleggen. In de context van de wiskunde, die bediend wordt strikt gecontroleerd postulaten, manifesteerde zich het duidelijkst, hoe meer de theologische aspect nog gewogen wetenschap.

Echter, door het werk van de wiskundige Georg Cantor aller tijden viel op zijn plaats. Hij bewees dat de oneindige verzamelingen is er een oneindige reeks, en dat het veld R groter is dan het veld N, laat hen beiden en hebben geen einde. In het midden van de negentiende eeuw, zijn ideeën publiekelijk opgeroepen onzin en een misdaad tegen klassieke onveranderlijk canons, maar de tijd zal alles op zijn plaats te zetten.

Basiseigenschappen van het veld R

Werkelijke aantallen niet alleen hebben dezelfde eigenschappen als de podmozhestva dat ze omvatten, maar zijn aangevuld met andere masshabnosti op grond van zijn elementen:

• R. nul bestaat en behoort tot het gebied c + c = 0 voor c R.
• Nul bestaat en behoort tot het gebied R. c x 0 = 0 voor c R.
• De verhouding c: d bij d ≠ 0 bestaat en is geldig voor alle c, d R.
• Veld R gelast, dat wil zeggen wanneer c ≤ d, d ≤ c, vervolgens c = d voor c, d R.
• Toevoeging veld R commutatief, i.e. c + d = d + c, voor c, d R.
• Vermenigvuldiging in veld R commutatief, d.w.z. x c x d = d c voor c, d R.
• Toevoeging veld R associatief d.w.z. (c + d) + f = c + (d + f) voor c, d, f of R.
• Vermenigvuldiging in veld R associatief d.w.z. (c x d) x f = c x (d x f) voor c, d, f of R.
• Voor elk nummer van gebied R tegenover daar, zodat c + (-c) = 0, waarin c, -c van R.
• Voor elk nummer van gebied R aanwezig zijn inversie, zodat c x c = ^-1 1 waarbij c, c ^-1 R.
• Eenheid bestaat en maakt deel uit R, zodat de c x 1 = c voor c R.
• Het heeft de verdeling machtswet, dat c x (d + f) = c x d + c x f, voor c, d, f of R.
• Het R veld nul is gelijk aan één.
• Veld R transitief: als c ≤ d, d ≤ f ≤ f vervolgens c voor c, d, f of R.
• De R en toevoegingsvolgorde zijn verbonden: als c ≤ d, dan c + d + f ≤ f voor c, d, f of R.
• In de orde van R en vermenigvuldiging gekoppeld: als 0 ≤ c, d ≤ 0, dan 0 ≤ c x d voor c, d R.
• Als negatieve en positieve reële getallen continu, d.w.z. voor c, d of Rf, bestaat er uit R, dat c ≤ f ≤ d.

Moduleveld R

De reële getallen bevatten zoiets als een module. Aangewezen als de | F | voor elke f in R. | F | = F, wanneer 0 ≤ f en | f | = -f Als 0> f. Als we kijken naar de module als een geometrische waarde, het is een afstand - het maakt niet uit, "geslaagd" u als nul in de negatieve naar de positieve of achteruit.

Complex en reële getallen. Wat zijn de overeenkomsten en verschillen?

In grote complexe en reële getallen - ze een en hetzelfde, behalve dat het eerste lid van de imaginaire eenheid i, het kwadraat van die gelijk is aan -1. Velden elementen R en C kunnen worden voorgesteld door de volgende formule:

• c = d + f xi, waarbij d, f behoren tot het gebied R en i - imaginaire eenheid.

De c O vh in dit geval eenvoudigweg benadering gelijkgesteld aan nul, dat wil zeggen, er is slechts het reële deel van het nummer. Omdat het gebied van complexe getallen heeft dezelfde functies als het gebied van onroerend f xi = 0 als f = 0.

Met betrekking praktische verschillen, bijvoorbeeld in het gebied R vierkantsvergelijking kan niet worden opgelost als de discriminant negatief, terwijl de doos C deze beperking oplegt de introductie van de imaginaire eenheid i.

uitslagen

"Bakstenen" axioma's en postulaten die als basis wiskunde, niet veranderen. Op sommige van hen te wijten aan de toename van de informatie en de introductie van nieuwe theorieën plaatste de volgende "stenen", die in de toekomst de basis voor de volgende stap kan worden. Bijvoorbeeld, natuurlijke getallen, ondanks het feit dat ze een deel van de werkelijke veld R, heeft geen relevantie verliest. Het is voor hen de basis van alle elementaire rekenkunde, die begint met de kennis van een man van vrede.

Vanuit praktisch oogpunt, de reële getallen eruit als een rechte lijn. Het is mogelijk om een richting te kiezen, om de oorsprong en de toonhoogte te identificeren. Directe bestaat uit een oneindig aantal punten, waarvan elk overeenkomt met één reëel getal, ongeacht of niet rationeel. Uit de beschrijving is het duidelijk dat we het hebben over het concept, dat gebaseerd is wiskunde in het algemeen, en de wiskundige analyse in het bijzonder.