De Riemann-hypothese. Verdeling van priemgetallen

In 1900, een van de grootste wetenschappers van de vorige eeuw, David Hilbert maakte een lijst die bestaat uit 23 onopgeloste problemen van de wiskunde. Het werk aan hen heeft een enorme impact op de ontwikkeling van dit gebied van de menselijke kennis gehad. Na 100 jaar in de Clay Mathematisch Instituut presenteerde een lijst van zeven problemen, bekend als de Millennium doelstellingen. Voor de beslissing van elk van hen werd de prijs van $ 1.000.000 aangeboden.

Het enige probleem, dat was een van de twee lijsten van puzzels, eeuwenlang geen rust te geven aan wetenschappers, werd de Riemann-hypothese. Ze wacht nog steeds op zijn beslissing.

Korte biografische informatie

Georg Friedrich Bernhard Riemann werd geboren in 1826 in Hannover, in een groot gezin van een arme dominee, en leefde slechts 39 jaar oud. Hij slaagde erin om 10 papers te publiceren. Echter, tijdens het leven van Riemann beschouwde hij een opvolger van zijn leraar Johann Gauss. Op 25 jaar verdedigde jonge wetenschapper zijn proefschrift "Grondslagen van de theorie van functies van een complexe variabele." Later formuleerde hij zijn hypothese, die beroemd werd.

priemgetallen

Wiskunde kwam toen de mens leerde te tellen. Toen stond de eerste idee van de nummers, die later probeerde te classificeren. Het is waargenomen dat sommigen van hen hebben gemeenschappelijke eigenschappen. In het bijzonder bij de natuurlijke getallen m. E. Degenen die werden gebruikt bij de berekening (nummering) of de aangewezen aantal items is toegewezen een groep van dergelijke die zijn onderverdeeld slechts door één en zichzelf. Ze werden eenvoudig genoemd. Een elegante het bewijs van de stelling oneindige reeks getallen gegeven door Euclides in zijn "Elements". Op dit moment blijven we hun zoektocht. Met name, de grootste van een aantal bekende ² 74207281 -. 1

Euler formule

Samen met het begrip oneindig veel priemgetallen Euclid gedefinieerd en de tweede stelling de enige mogelijke factorisatie. Volgens hem alle positief geheel getal is het product van slechts één set priemgetallen. In 1737, de grote Duitse wiskundige Leonhard Euler uitgedrukt eerste stelling van Euclides de oneindigheid van de hieronder getoonde formule.

Het heet de zetafunctie, waarin s - een constante en p is alles eenvoudig waarden. Uit het direct gevolgd en goedkeuring van de uniciteit van de uitbreiding van Euclides.

Riemann zetafunctie

Euler formule bij nader inzien is heel opmerkelijk, zoals gegeven door de verhouding tussen de eenvoudige en gehele getallen. Immers, in haar linker zijde worden vermenigvuldigd oneindig veel uitdrukkingen die alleen afhankelijk van eenvoudig, en in de juiste hoeveelheid wordt geassocieerd met alle positieve gehele getallen.

Riemann ging Euler. Om de sleutel tot het probleem van de verdeling van de getallen wordt voorgesteld met de formule definiëren voor zowel de reële en complexe variabele. Zij was het die later bekend werd als de Riemann Zeta-functie. In 1859 publiceerde de wetenschapper een artikel getiteld "Op het aantal priemgetallen die niet een bepaalde waarde niet overschrijden", die al hun ideeën samengevat.

Riemann voorgesteld het gebruik van een aantal van Euler, convergente voor alle reële s> 1. Als dezelfde formule wordt gebruikt voor complexe s, zal de serie convergeren voor iedere waarde van de variabele met het reële deel groter is dan 1. Riemann gebruikte analytische voortzetting van de procedure door uitbreiding van de definitie van zeta (s) voor complexe getallen, maar eenheid "gooien". Het was niet mogelijk, omdat als s = 1 zetafunctie toe tot oneindig.

praktische zin

De vraag rijst: wat is interessant en belangrijk zetafunctie, wat cruciaal is in het werk van Riemann op de nulhypothese? Zoals u weet, op dit moment niet gevonden een eenvoudig patroon dat de verdeling van priemgetallen tussen de natuurlijke beschrijft. Riemann staat om te detecteren dat het aantal pi (x) van priemgetallen, die niet superieur is aan x zijn, wordt uitgedrukt door de distributie van niet-triviale nul zetafunctie. Bovendien is de Riemannhypothese is een noodzakelijke voorwaarde om de tijdelijke evaluaties van bepaalde cryptografische algoritmen bewijzen.

De Riemann-hypothese

Een van de eerste formuleringen van dit wiskundig probleem, niet bewezen dat de dag van vandaag is: triviale 0 zetafunctie - complexe getallen met echte deel gelijk is aan ½. Met andere woorden, ze zijn aangebracht op een rechte lijn Re s = ½.

Er is ook een gegeneraliseerde Riemann-hypothese, dat is hetzelfde statement, maar voor de veralgemening van de zeta-functies, die de Dirichlet worden genoemd (zie. Foto onder) L-functies.

In de formule χ (n) - een numeriek teken (mod k).

verklaring Riemann is de zogenaamde nul-hypothese, zoals is geverifieerd voor de samenhang met de bestaande sample data.

Zoals ik al betoogd Riemann

Opmerking Duitse wiskundige werd oorspronkelijk geformuleerd nogal nonchalant. Het feit is dat op dat moment de wetenschapper zou gaan om een stelling over de verdeling van priemgetallen te bewijzen, en in deze context, is deze hypothese niet veel effect hebben. Echter, haar rol in de aanpak van de vele andere zaken is enorm. Dat is de reden waarom de Riemann-hypothese voor nu veel wetenschappers erkennen de belangrijke onbewezen wiskundige problemen.

Zoals gezegd, de stelling bewijzen de verdeling van de volledige Riemannhypothese niet noodzakelijk en logischerwijs bewijzen dat het reële deel van elke niet-triviale nul van de zetafunctie tussen 0 en 1. Deze eigenschap betekent dat de som van alle 0-m zetafunctie hierboven in de exacte formule worden weergegeven, - eindige constant. Voor grote waarden van x, kan het allemaal verloren gaan. Het enige lid van de formule die onveranderd, zelfs bij zeer hoog x blijft, x is zelf. De rest van het complex termen in vergelijking met haar asymptotisch verdwijnen. Zo is de gewogen som neiging x. Dit feit kan worden beschouwd als bewijs van de waarheid van priemgetalstelling. Zo is de nullen van de Riemann zeta functie verschijnt een speciale rol. Het is om te bewijzen dat deze waarden niet significant kan bijdragen aan de uitbreiding formule.

Riemann volgelingen

De tragische dood door tuberculose voorkomen dat de wetenschapper te brengen om de logische einde van het programma. Echter, nam hij het stokje over van de W-F. de la Vallée Poussin en Zhak Adamar. Onafhankelijk van elkaar hadden ze priemgetalstelling ingetrokken. Hadamard en Poussin erin geslaagd om te bewijzen dat alle niet-triviale 0 zetafunctie bevinden zich binnen de kritische band.

Dankzij het werk van deze wetenschappers, een nieuwe tak van de wiskunde - analytische theorie van de nummers. Later hebben andere onderzoekers een beetje meer primitieve bewijs van de stelling werkte in Rome ontvangen. Vooral Pal Erdös en Atle Selberg geopend zelfs bevestigd zijn zeer complexe keten van logica, het gebruik van complexe analyse vereist. Echter, op dit punt het idee van de Riemann door een aantal belangrijke stellingen zijn bewezen, met inbegrip van de aanpassing van de vele functies van de getaltheorie. In het kader van dit nieuwe werk Erdős en Atle Selberg niet vrijwel alles beïnvloed.

Een van de eenvoudigste en mooiste bewijs van het probleem is gevonden in 1980 door Donald Newman. Het was gebaseerd op de bekende Cauchy stelling.

Bedreigd als Riemann-hypothese is de basis van de moderne cryptografie

Data-encryptie ontstaan met het verschijnen van tekens, of liever gezegd, kunnen zij als de eerste code worden beschouwd. Op dit moment is er een hele nieuwe trend van digitale cryptografie, dat zich bezighoudt met de ontwikkeling van encryptie-algoritmen.

Eenvoudig en "semisimple" nummer m. E. Degenen die alleen zijn verdeeld in twee andere nummers van dezelfde klasse, vormen de basis van een public key systeem, bekend als RSA. Het heeft een brede toepassing. Met name wordt gebruikt bij het genereren van een elektronische handtekening. Als we praten in termen van de beschikbare "theepot", de Riemann-hypothese beweert het bestaan van het systeem in de verdeling van de priemgetallen. Zo aanzienlijk verminderde weerstand van cryptografische sleutels, waarop de veiligheid van online transacties hangt in e-commerce.

Andere onopgeloste wiskundige problemen

Complete artikel is de moeite waard besteden een paar woorden aan andere taken van het millennium. Deze omvatten:

• Gelijkheid van de klassen P en NP. als een positief antwoord op een bepaalde vraag wordt gecontroleerd in polynomiale tijd, dan is het waar dat hij zelf het antwoord op deze vraag kan snel worden gevonden: Het probleem wordt als volgt geformuleerd?
• Vermoeden van Hodge. In eenvoudige termen als volgt kunnen worden gesteld: voor sommige soorten van projectieve algebraïsche spruitstukken (spaties) Hodge cycli zijn combinaties van voorwerpen die een meetkundige interpretatie, dwz algebraïsche cycli hebben ...
• Vermoeden van Poincaré. Het is de enige bewezen op het moment millennium problemen. Volgens het geen driedimensionaal object met specifieke eigenschappen van de 3-dimensionale bol, dient de bol nauwkeurig vervorming.
• Goedkeuring van de quantum Yang - Mills theorie. We moeten dat kwantum theorie te bewijzen, naar voren gebracht door deze wetenschappers aan de ruimte R ^4, is er een 0-massadefect voor een eenvoudige kalibratie van een compacte groep G.
• De hypothese van de Berk - Swinnerton-Dyer. Dit is een ander probleem dat relevant is voor cryptografie is. Het gaat om de elliptische krommen.
• Het probleem van het bestaan en de gladheid van oplossingen van de Navier - Stokes vergelijkingen.

Nu weet je de Riemann-hypothese. In eenvoudige termen, hebben we geformuleerd en een aantal van de andere doelstellingen van het millennium. Het feit dat ze zullen worden opgelost of wordt bewezen dat ze geen oplossing - het is een kwestie van tijd. En dit is het onwaarschijnlijk dat al te lang te wachten, want de wiskunde in toenemende mate gebruik rekenkracht van computers. Echter, niet alles is onderworpen aan de kunst en de wetenschappelijke problemen op te lossen vereist vooral intuïtie en creativiteit.