Russellparadox: basisinformatie, voorbeelden, formulering

Russell paradox is twee gecorreleerde logische antinomie.

Twee vormen van paradox Russell's

De meest besproken vorm van tegenstrijdig logische reeksen. Een deel van de set lijkt de leden zelf, en anderen - geen. De verzameling van alle verzamelingen is zelf een set, dus het lijkt erop dat het verwijst naar zichzelf. Nul of leeg is, mag echter geen lid van zichzelf. Daarom is de verzameling van alle verzamelingen, als nul niet inbegrepen in zichzelf. De paradox ontstaat wanneer de vraag of de reeks een lid van zichzelf. Dit is mogelijk als en alleen als het niet is.

Een andere vorm paradox is een contradictie met betrekking tot eigenschappen. Sommige eigenschappen, lijkt te verwijzen naar zichzelf, terwijl anderen dat niet zijn. De woning aan het pand zelf is een eigenschap zijn, terwijl de woning of het nu een kat is niet. Denk aan de eigenschap van het hebben van een eigenschap die niet bij hem hoort. of het gaat om zelf? Nogmaals, alle veronderstellingen moet het tegenovergestelde. De paradox werd genoemd ter ere van Bertrand Russell (1872-1970), die in 1901 ontdekt.

verhaal

Opening Russell zich tijdens zijn werk over "Principles of Mathematics". Hoewel hij ontdekte de paradox onafhankelijk van elkaar, zijn er aanwijzingen dat andere wiskundigen en ontwikkelaars van de set theorie, met inbegrip van Ernst Zermelo en David Hilbert, zich bewust zijn van de eerste versie van tegenstrijdigheden voor hem geweest waren. Russell was echter de eerste die in detail de paradox in zijn gepubliceerde werken besproken, eerst geprobeerd om oplossingen te formuleren en de eerste ten volle te waarderen de betekenis ervan. Een heel hoofdstuk van "Principles" was gewijd aan de bespreking van deze kwestie en de toepassing was gewijd aan de theorie van de soorten, die Russell voorgesteld als een oplossing.

Russell ontdekte de "paradox van de leugenaar', gezien Cantor set theorie die zegt dat de kracht van elke set is kleiner dan de set van zijn subsets. Althans in het gebied moeten evenveel als er deelverzamelingen elementen daarin, indien een subset van elk element wordt ingesteld met alleen dit element. Bovendien Cantor bewees dat het aantal elementen niet gelijk aan het aantal subsets kunnen zijn. Als er hetzelfde nummer, zou het moeten ƒ functie die elementen op hun subsets zouden tonen bestaan. Tegelijkertijd kan worden aangetoond dat dit onmogelijk is. Sommige items kunnen worden weergegeven op de functie ƒ subsets die ze bevatten, terwijl anderen misschien niet.

Denk aan de subset van elementen die niet behoren tot hun foto's, waarin ze ƒ weer te geven. Het zelf een subset van elementen, en derhalve zou ƒ functie weer te geven op een element in het domein. Het probleem is dat dan de vraag of dit element behoort tot de subset waartoe toont ƒ. Dit is alleen mogelijk als het niet thuishoort. Russellparadox kan worden gezien als een voorbeeld van dezelfde redenering alleen vereenvoudigd. Wat meer is - de sets of subsets van de set? Het lijkt erop dat er moet meer sets, als alle subgroepen van de sets zelf. Maar als Cantor's stelling waar is, dan moet er meer subsets. Russell beschouwd gewoon weer te geven sets aan zichzelf en toegepast kantoriansky benadering voor de verzameling van al deze elementen, buiten een set waarin ze worden weergegeven. Resultaat Russell wordt de verzameling van alle verzamelingen, een non.

error Frege

"De paradox van de leugenaar" had een grote invloed op de historische ontwikkeling van de theorie van de sets. Hij toonde aan dat het concept van de universele set is zeer problematisch. Zette hij vraagtekens bij de gedachte dat voor elke toegezegd conditie of predikaat het bestaan van een veelheid van alleen die dingen dat aan deze voorwaarde te voldoen kan aannemen. Option paradox met betrekking tot de eigenschappen - een natuurlijke uitbreiding van de versie sets - aanleiding gaf tot ernstige twijfels over de vraag of het mogelijk is om te betogen over de doelstelling bestaan van een woning of een universele overeenstemming met elk bepaald door de staat, of predikaat.

Binnenkort zal de tegenstellingen en problemen in het werk van de logici werden gevonden, filosofen en wiskundigen die dezelfde aannames hebben gemaakt. In 1902, Russell vond dat een variant van de paradox kan worden uitgedrukt in een logisch systeem, ontwikkeld in deel I van Gottlob Frege's "Grondslagen van de rekenkunde", een van de belangrijkste werken op de logica van de late XIX - begin van de XX eeuw. In de filosofie van Frege veel opgevat als een "uitbreiding" of "value-range" -concept. De concepten zijn het dichtst bij die van de determinanten. Zij worden geacht te bestaan voor een bepaalde aandoening of predikaat. Er is dus een concept van een stel, dat niet onder de bepalende begrip valt. Er is ook een klasse gedefinieerd door dit concept, en het is onderworpen aan het definiëren van het concept alleen als het niet.

Russell schreef Frege over dit conflict in juni 1902 Correspondentie is uitgegroeid tot een van de meest opwindende en besproken in de geschiedenis van de logica. Frege onmiddellijk herkende de rampzalige gevolgen van de paradox. Hij merkte echter op dat de versie van de controverse over de eigenschappen in zijn filosofie werd opgelost door onderscheid te maken tussen de concepten van levels.

Freges idee opgevat als overgang van de argumenten van de functie TRUE. De begrippen eerste niveau met als argumenten de voorwerpen van de tweede niveau begrippen als argumenten voor deze functies, enzovoort. Zo kan het concept zelf neem nooit als argument, en de paradox in termen van de eigenschappen kunnen niet worden geformuleerd. Niettemin sets, uitbreiding of concepten Frege opgevat als hetzelfde logische type als alle andere objecten. Dan is er voor elke set een vraag of valt onder het begrip definiëren.

Wanneer Frege, Russell de eerste letter, het tweede deel van "Grondslagen van de rekenkunde" ontvangen is al af te drukken. Hij werd gedwongen om een applicatie die een antwoord op de paradox van Russell geeft snel te bereiden. Voorbeelden Frege bevatte een aantal mogelijke oplossingen. Maar hij kwam tot de conclusie om het concept van abstractie set verzwakken in een logisch systeem.

In de oorspronkelijke, kon worden geconcludeerd dat het object behoort het apparaat als en alleen als het onder het begrip valt, definieert. Het herziene systeem kan concluderen dat het object behoort het apparaat indien en slechts indien zij vallen onder het begrip een veelvoud valt, maar niet in kwestie. Russellparadox voordoet.

De oplossing is echter niet geheel tevreden Frege. En dit was de reden. Enkele jaren later, heeft meer complexe vorm van de tegenstrijdigheid gevonden herziene systeem. Maar nog voordat dit gebeurde, Frege verlaten zijn beslissingen en lijken tot de conclusie dat zijn aanpak was gewoon onwerkbaar te komen, en dat de logica zal moeten doen zonder dat een van de sets.

Weer anderen zijn voorgesteld, relatief meer succes alternatieve oplossingen. Deze worden hieronder besproken.

De theorie van de soorten

Er werd opgemerkt boven dat Frege een adequate reactie op de paradoxen was van de set theorie in de versie geformuleerd voor eigenschappen. respons Freges werd voorafgegaan door de besproken oplossing voor deze vorm van paradox. Het is gebaseerd op het feit dat de eigenschappen zijn onderhevig aan verschillende soorten en wat voor soort woning is nooit hetzelfde als de items waarop het betrekking heeft.

Zelfs niet de vraag, of de eigenschap van toepassing is op zichzelf. Logische taal, waarin de elementen van een dergelijke hiërarchie scheidt, met de theorie typen. Hoewel het reeds door Frege, de eerste keer wordt gebruikt, wordt volledig uitgelegd en onderbouwd Russell in de bijlage bij het "principe". De theorie van de soorten was completer dan het onderscheid van Frege niveaus. Ze deelde eigenschappen zijn niet alleen verschillende soorten logica, maar ook in te stellen. typt theorie op de tegenstrijdigheid in de paradox van Russell volgt op te lossen.

Met het oog op een filosofisch voldoende, de goedkeuring van de theorie van de soorten onroerende goederen vereist de ontwikkeling van de theorie van de aard van de eigenschappen dus dat zou verklaren waarom ze niet kunnen worden toegepast op zichzelf. Op het eerste gezicht, is het zinvol om hun eigendom predikaat. De eigenschap van het zijn eigen identiteit, zo lijkt het, het is ook een eigen identiteit. De accommodatie lijkt een aardige plezierig. Evenzo, blijkbaar lijkt onwaar dat de eigenschap heeft een kat is een kat.

Toch verschillende denkers gerechtvaardigd de verdeling van de verschillende types. Russell gaf zelfs verschillende verklaringen op verschillende momenten in zijn carrière. Van haar kant, de reden voor de scheiding van de verschillende concepten van Frege niveaus komt uit zijn theorie van onverzadigde concepten. Begrippen als functie, in essentie, zijn onvolledig. Om waarde te bieden, moeten ze een argument. Je kunt niet zomaar een concept tot het concept van hetzelfde type predikaat, omdat het nog steeds zijn argument vereist. Bijvoorbeeld, hoewel het mogelijk is om de vierkantswortel van de vierkantswortel van een getal te nemen, je kunt niet zomaar gebruik maken van een vierkantswortel functie om de vierkantswortel functie en krijgen een resultaat.

Over conservatisme eigenschappen

Een andere mogelijke oplossing is de paradox eigenschappen negatie eigenschappen bestaan onder een bepaalde omstandigheden, of een goed gevormde predikaat. Natuurlijk, als iemand mijdt metafysische eigenschappen van zowel objectieve en onafhankelijke elementen als een geheel, als we nominalisme paradox volledig kan worden vermeden.

Echter, om de tegenstrijdigheid op te lossen hoeft niet zo extreem zijn. Logische hogere orde systemen ontwikkeld Frege en Russell, bevat wat een conceptueel principe genoemd, volgens hetwelk elke open formules ongeacht hoe complex bestaat als onderdeel van een eigenschap of begrip bijvoorbeeld alleen die onderdelen die overeenkomen met de formule. Zij hebben bij de kenmerken van elke mogelijke combinatie van omstandigheden of predikaten, maakt niet uit hoe complex ze waren.

Toch was het mogelijk om een meer rigoureuze metafysica eigenschappen nemen, die recht geven op de doelstelling bestaan van eenvoudige eigenschappen, waaronder bijvoorbeeld, zoals rode kleur, hardheid, vriendelijkheid en ga zo maar door. D. U kunt zelfs laten deze eigenschappen van toepassing zijn op zichzelf, zoals vriendelijkheid kan wees vriendelijk.

En dezelfde status voor complexe kenmerken te ontkennen bijvoorbeeld dergelijke "properties" geacht zeventien-koppen worden geschreven onder-water en dergelijke. D. In dit geval zijn geen vooraf bepaalde voorwaarde voldoet niet aan de eigenschap, opgevat als apart bestaand element, die zijn eigen eigenschappen heeft. Zo kan men het bestaan van eigenschappen ontzeggen zijn eenvoudig accommodatie-die-niet-aangetrokken naar zichzelf en paradox voorkomen door de toepassing van conservatieve metafysische eigenschappen.

Russell's paradox: de oplossing

Boven werd opgemerkt dat aan het einde van zijn leven Frege volledig verlaten de logica van sets. Dit natuurlijk een oplossing voor de tegenstrijdigheid in de vorm van sets: een eenvoudige ontkenning van het bestaan van dergelijke elementen als geheel. Daarnaast zijn er andere populaire keuzes, de basis van die zijn hieronder weergegeven.

De theorie voor vele soorten

Zoals eerder vermeld, Russell gespeeld voor een meer volledige theorie van de soorten, die niet alleen de eigenschappen of concepten zouden delen met verschillende types, maar ook in te stellen. Russell gedeelde op een veelvoud van afzonderlijke eenheden, een aantal stellen van afzonderlijke objecten, enz. De sets van objecten werden buiten beschouwing gelaten, en een aantal sets - .. Sets. Veel nooit genoten van de soort, het mogelijk maakt om als lid van zichzelf. Daarom is er geen verzameling van alle sets die geen lid zijn van zijn eigen zijn, want voor elke reeks vragen over de vraag of het is als lid, is op zichzelf een overtreding type. Nogmaals, het gaat hier om de metafysica sets uit te leggen aan de filosofische grondslagen van de divisie uit te leggen in typen.

laagvorming

In 1937 heeft V. V. Kuayn een alternatieve oplossing geboden op dezelfde wijze als de theorie typen. Basisinformatie over het.

Scheidingselement sets cs. Zo gemaakt dat de aanname van het vinden van een veelvoud is altijd correct of betekenisloos. Sets kunnen alleen worden verstrekt wanneer zij hun voorwaarden niet een overtreding type. Zo Quine, de uitdrukking "x is lid van x" de betekenis instructie houdt niet het bestaan van de verzameling van alle elementen x voldoet aan deze voorwaarde.

In dit systeem bestaat een set voor een aantal open formule A als en slechts als het gelaagd, t. E. Wanneer de variabelen zijn positieve gehele getallen zodat voor elk kenmerk optreden van een aantal voorafgaande deze variabele toegewezen toewijzingseenheid kleiner is dan de variabele toegewezen, volgende achter hem aan. Dit blokkeert russellparadox, omdat de formule gebruikt om het probleem set vast te stellen, is er hetzelfde voor en na de variabele lidmaatschap teken waardoor het ongelaagd.

Maar het heeft nog om te bepalen of de daaruit voortvloeiende systeem, dat Quine de naam "New Foundations of wiskundige logica" consistent.

afwijzing

Een geheel andere aanpak wordt genomen in de theorie van Zermelo - Fraenkel (ZF). Ook hier een limiet instellen op het bestaan van de sets. In plaats daarvan, de aanpak van de "top-down" van Russell en Frege, die aanvankelijk dacht dat voor alle concepten, onroerend goed, of de voorwaarden van het bestaan van de verzameling van alle dingen kan suggereren met deze eigenschap of om een dergelijke voorwaarde te voldoen, in ZF-theorie, alles begint "van beneden naar boven."

Afzonderlijke elementen van de lege verzameling en vormen een set. Daarom, in tegenstelling tot eerdere systemen en Russell Frege FIT behoort niet tot de universele set waarin alle elementen en zelfs alle sets omvat. ZF stelt strikte limieten aan het bestaan van de sets. Kan alleen bestaan waarvoor wordt duidelijk verondersteld of kunnen worden geformuleerd door middel van iteratieve processen en dergelijke. D.

Vervolgens, in plaats van het begrip onttrekking naïeve set hetwelk een bepaald element is opgenomen in de set als en alleen als het voldoet aan de voorwaarden van de scheidingsbeginsel gebruikte DF, scheiding of "sorteren". In plaats van het aannemen van het bestaan van de verzameling van alle elementen die zonder uitzondering aan een bepaalde voorwaarde, voor elke bestaande set Aussonderung blijkt dat er een deelverzameling van alle elementen in het oorspronkelijke, die voldoet aan de voorwaarde.

Dan komt abstractie principe: als de verzameling A bestaat, dan, voor alle x in A, x behoort tot de deelverzameling A, die voldoet aan de voorwaarde als en slechts als x voldoet aan de voorwaarde C. Deze benadering lost de paradox Russell, want we kunnen niet zomaar aannemen dat wil zeggen de verzameling van alle sets die geen lid zijn van zichzelf zijn.

Het hebben van een veel sets, kunt u kiezen of verdeel het in sets, die op zichzelf, en degenen die niet van dien aard, maar aangezien er geen universele set zijn we niet gebonden verzameling van alle sets. Zonder de veronderstelling dat het probleem stelt Russell tegenspraak kan niet bewezen worden.

andere oplossingen

Daarnaast zijn er verdere uitbreidingen of modificaties van deze oplossingen, zoals een vorktype theorie van de "Principles of Mathematics" system expansion "mathematische logica" Quine, alsook meer recente ontwikkelingen in de theorie van verzamelingen zijn gemaakt Bernays, Gödel en Von Neumann. De vraag of de respons op de onoplosbare paradox Bertrand Russell gevonden, is nog ter discussie.