De onbepaalde integraal. Berekening van onbepaalde integralen

Een van de fundamentele onderdelen van wiskundige analyse is de integraalberekening. Dekt een breed gebied van voorwerpen, waarbij de eerste - is de onbepaalde integraal. Positie het staat als een sleutel die nog op de middelbare school blijkt een toenemend aantal kansen en mogelijkheden, die hogere wiskunde beschrijft.

verschijning

Op het eerste gezicht lijkt het absoluut een integraal onderdeel van de moderne, actueel, maar in de praktijk blijkt dat hij terug in 1800 kwam voor Christus. Home naar officieel beschouwd Egypte heeft eerder het bewijs van het bestaan ervan niet bereiken ons. Het gebrek aan informatie, al die tijd gepositioneerd eenvoudigweg als verschijnsel. Hij bevestigt eens te meer het niveau van de wetenschappelijke ontwikkeling van de volkeren van die tijd. Ten slotte werden de werken hebben de oude Griekse wiskundigen, daterend uit de 4e eeuw voor Christus. Ze beschrijven de methode waarbij de onbepaalde integraal, waarvan de essentie was het volume of gebied van een gebogen vorm (driedimensionale en tweedimensionale vlak, respectievelijk) zijn. berekening is gebaseerd op het principe van scheiding van het oorspronkelijke beeld in oneindig kleine onderdelen, mits het volume (gebied) reeds bekend is aan hen. Na verloop van tijd, de methode is gegroeid, Archimedes gebruikt om het gebied van een parabool vinden. Vergelijkbare berekeningen tegelijkertijd om oefeningen uit te voeren in het oude China, waar ze waren volledig onafhankelijk van de Griekse collega-wetenschap.

ontwikkeling

De volgende doorbraak in de XI eeuw voor Christus heeft het werk van de Arabische geleerde worden "wagon" Abu Ali al-Basri, die de grenzen van duwde de reeds bekende, werden afgeleid uit de integrale formule voor de berekening van de som van de bedragen en de graden van de eerste naar de vierde, het aanvragen van deze bij ons bekend inductiemethode.
Minds van vandaag worden bewonderd door de oude Egyptenaren creëerde de verbazingwekkende monumenten zonder speciaal gereedschap, met uitzondering van die van hun eigen handen, maar is niet een vermogen gekke wetenschappers van de tijd niet minder een wonder? In vergelijking met de huidige tijd van hun leven lijkt bijna primitief, maar de beslissing van onbepaalde integralen overal afgeleid en in de praktijk gebruikt voor verdere ontwikkeling.

De volgende stap vond plaats in de zestiende eeuw, toen de Italiaanse wiskundige Cavalieri bracht ondeelbaar methode, die opgepikt Per Ferma. Deze twee persoonlijkheid de basis gelegd voor de moderne integraalrekening, die bekend staat op dit moment. Ze bonden de begrippen differentiatie en integratie, die voorheen werden beschouwd als zelfstandige units. In grote lijnen, de wiskunde van die tijd was gefragmenteerde deeltjes bevindingen bestaan op zichzelf, met een beperkt gebruik. Manier om zich te verenigen en een gemeenschappelijke basis vinden was de enige ware op het moment, dankzij hem, de moderne wiskundige analyse hadden de kans om te groeien en te ontwikkelen.

Met het verstrijken van de tijd verandert alles en de integrale symbool ook. In grote lijnen, werd haar aangewezen wetenschappers die op zijn eigen manier, bijvoorbeeld, Newton gebruik gemaakt van een vierkant pictogram, die een integreerbare functie te zetten, of gewoon samen te stellen. Dit verschil duurde tot de zeventiende eeuw, toen een mijlpaal voor de hele theorie van de wiskundige analyse wetenschapper Gotfrid Leybnits introduceerde zo'n teken vertrouwd voor ons. Langwerpige "S" is in feite gebaseerd op de letter van het Romeinse alfabet, daar geeft de som van de primitieven. De naam van de integrale verkregen door Jakob Bernoulli, na 15 jaar.

De formele definitie

De onbepaalde integraal hangt af van de definitie van de primitieve, dus we vinden het in de eerste plaats.

Primitieve - de inverse functie van de afgeleide in de praktijk primitief wordt genoemd. Anders: primitieve functie van d - een functie D, hetgeen het derivaat v <=> V '= v. Search primitieve de onbepaalde integraal te berekenen, en het proces zelf heet integratie.

bijvoorbeeld:

De functie s (y) = y ^{3 en} de primitieve S (y) = (y ^4/4).

De verzameling van alle primitieven van de functie - Dit is een onbepaalde integraal, aangeduid als volgt: ∫v (x) dx.

Dankzij het feit dat V (x) - zijn slechts enkele primitieve oorspronkelijke functie, uitdrukking bezit: ∫v (x) dx = V (x) + C, waarbij C - constant. Onder willekeurige constante verwijst naar een constant, aangezien de afgeleide nul is.

eigenschappen

De eigenschappen bezeten door de onbepaalde integraal, hoofdzakelijk op de definitie en de eigenschappen van derivaten.
Denk aan de belangrijkste punten:

• integrale afgeleide van de oorspronkelijke primitief zelf plus een willekeurige constante C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• afgeleide van de integraal van een functie de oorspronkelijke functie <=> (∫v (x) dx) = v (x);
• constant wordt uit onder integraalteken <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, waarbij k - is willekeurig;
• integrale, die uit de som van de identiek gelijk wordt gemaakt aan de som van integralen <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De laatste twee eigenschappen kan worden geconcludeerd dat de onbepaalde integraal lineair. Hierdoor hebben we: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Voorbeelden bevestigingsoplossingen onbepaalde integralen zien.

U moet de integraal ∫ (3sinx + 4cosx) dx vinden:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Uit het voorbeeld kunnen we concluderen dat je niet weet hoe je onbepaalde integralen op te lossen? Zoek gewoon alle primitieven! Maar de zoektocht naar de hieronder besproken beginselen.

Werkwijzen en Voorbeelden

Met het oog op de integrale op te lossen, kan je toevlucht nemen tot de volgende manieren:

• klaar om te profiteren van de tafel te nemen;
• partiële integratie;
• geïntegreerd door het vervangen van de variabele;
• opsomming in het teken van het verschil.

tafels

De meest eenvoudige en plezierige manier. Op dit moment kan wiskundige analyse bogen vrij uitgebreid tabellen, die de basisformule van onbepaalde integralen gespeld. Met andere woorden, er zijn sjablonen afgeleid aan jou en je kunt alleen gebruik maken van hen. Hier is de lijst van de belangrijkste tafelposities, die vrijwel alle gevallen kan worden weergegeven, heeft een oplossing:

• ∫0dy = C, waarbij C - constant;
• ∫dy = y + C, waarbij C - constant;
• ∫y ⁿ DY = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, waarbij C - constante en n - verschillend van de eenheid;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, waarbij C - constant;
• ^{∫e dy = y y e + C} , waarbij C - constant;
• ^{∫k y dy = (ky /} ln k) + C, waarbij C - constant;
• ∫cosydy = siny + C, waarbij C - constant;
• ∫sinydy = -cosy + C, waarbij C - constant;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, waarbij C - constant;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, waarbij C - constant;
• ∫dy / (1 + ^y2) = arctgy + C, waarbij C - constant;
• ∫chydy = gooi + C, waarbij C - constant;
• ∫shydy = Chy + C, waarbij C - constant.

Indien nodig, maak een paar stappen leiden Integrand een tabelweergave en genieten van de overwinning. Voorbeeld: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Volgens de beschikking blijkt dat bijvoorbeeld een tafel integrant mist multiplier 5. We voegen in parallel met deze vermenigvuldiging met 1/5 tot algemene uitdrukking veranderde niet.

Integratie van Parts

Beschouw twee functies - z (y) x en (y). Ze moeten continu differentieerbaar op zijn domein. In een differentiatie eigenschappen hebben we: d (xz) + = xdz ZDX. De integratie van beide kanten, krijgen we: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Het herschrijven van de resulterende vergelijking, krijgen we de formule, waarvan de wijze van integratie van onderdelen beschreven: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Waarom is het nodig? Het feit dat sommige van de voorbeelden is het mogelijk om te vereenvoudigen, laten we zeggen, om ∫zdx ∫xdz te verminderen, indien deze dicht bij de tabelvorm. Ook kan deze formule meermaals worden gebruikt, voor een optimaal resultaat.

Hoe te onbepaalde integralen op te lossen op deze manier:

• noodzakelijk ∫ (s + 1) e ^2s ds berekenen

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• moeten berekenen ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = SLN - ∫s x ds / s = SLN - ∫ds = SLN -s + C = s (LNS-1) + C.

de variabele vervanging

Dit principe van het oplossen van onbepaalde integralen zijn niet minder in trek dan de vorige twee, maar ingewikkeld. De werkwijze is als volgt: Zij V (x) - de integraal van een functie v (x). In het geval dat op zich integraal in Voorbeeld slozhnosochinenny komt, is het waarschijnlijk in de war raken en gaan op het verkeerde pad oplossingen. Deze praktijk verandering van de variabele x z, waarbij de algemene uitdrukking visueel vereenvoudigd terwijl de z afhankelijk x voorkomen.

In wiskundige termen is als volgt: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), waarbij x = y ( z) - substitutie. En, natuurlijk, de inverse functie z = ^-1 y (x) volledige beschrijving van de relatie en de relatie variabelen. Belangrijke opmerking - het differentieel dx noodzakelijkerwijs vervangen door een nieuw differentiaal dz, omdat de substitutie in de onbepaalde integraal gaat het overal vervangen, niet alleen in de integrand.

bijvoorbeeld:

• ds - moet ∫ (s + 1) / (5 ^s2 + 2s) voorbeeld

Breng de substitutie z = (B + 1) / ^(s2 + 2s-5). Vervolgens dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Daardoor wordt de volgende uitdrukking, die zeer gemakkelijk te berekenen:

∫ (s + 1) / ^(s2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | Z | = 1 + C / 2ln | ^s2 + 2s-5 | + C;

• u moet vinden de integrale ∫2 ^s e ^s dx

Om het herschrijven in het volgende formulier op te lossen:

^{∫2 s e n ds = ∫ (} 2e) en ds.

We geven door een = 2e (vervanging van het argument deze stap niet, het is nog steeds is), geven we onze schijnbaar ingewikkeld integraal elementaire tabelvorm:

^{∫ (2e) en ds = ∫a} s ds = ee / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ⁿ / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Samenvattend een differentiële teken

In grote lijnen, deze manier van onbepaalde integralen - de tweelingbroer van het beginsel van de substitutie, maar er zijn verschillen in het proces van registratie. Laten we eens kijken in meer detail.

Als ∫v (x) dx = V (x) + C en y = z (x), dan ∫v (y) dy = V (y) + C.

Tegelijkertijd moeten we niet vergeten het triviale integraal transformaties, waaronder:

• dx = d (x + a), en waarbij - elke constant;
• dx = (1 / a) d (ax + b), waarbij een - constante opnieuw, maar niet nul;
• xdx = 1 / 2d ^(x2 + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Als we kijken naar het algemene geval berekenen we de onbepaalde integraal, kunnen voorbeelden worden ondergebracht onder de algemene formule w '(x) dx = dw (x).

voorbeelden:

• moet vinden ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ^2, d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

De online hulp

In sommige gevallen kan de schuld van die worden of luiheid, of een dringende noodzaak, kunt u het online gebruiken herinneringen, of liever, een rekenmachine gebruiken onbepaalde integralen. Ondanks de schijnbare complexiteit en controversiële aard van de integralen, het besluit is onderworpen aan hun specifieke algoritme, dat is gebaseerd op het principe van "als je niet ... dan ...".

Natuurlijk zal een bijzonder ingewikkelde voorbeelden van zo'n computer niet beheersen, want er zijn gevallen waarin een beslissing moet vinden een kunstmatig "gedwongen" door bepaalde elementen in het proces, omdat de resultaten zijn duidelijk manieren te bereiken. Ondanks het controversiële karakter van deze verklaring, het is waar, zoals de wiskunde, in principe, een abstracte wetenschap, en zijn voornaamste doelstelling beschouwt de noodzaak om de grenzen te machtigen. Inderdaad, voor een soepele run-in de theorieën is erg moeilijk om omhoog te gaan en te evolueren, dus niet van uit dat de voorbeelden van het oplossen van onbepaalde integralen, die ons gaf - dit is de hoogte van de mogelijkheden. Maar terug naar de technische kant van de zaak. Tenminste de berekeningen te controleren, kunt u de dienst waarin het ons werd geschreven te gebruiken. Als er behoefte is aan automatische berekening van complexe expressies, dan zijn ze niet hun toevlucht moeten nemen tot een meer serieuze software. Moeten aandacht besteden vooral op het milieu MatLab.

toepassing

De beslissing van onbepaalde integralen op het eerste gezicht lijkt volledig los van de werkelijkheid, omdat het moeilijk is om voor de hand liggende gebruik van het vliegtuig te zien. Inderdaad, direct gebruik ze overal waar je niet kunt, maar ze zijn een noodzakelijke tussenstap element in het proces van terugtrekking van de oplossingen die gebruikt worden in de praktijk. Zo is de integratie van back differentiatie, waardoor actief deelnemen aan het proces van oplossen van vergelijkingen.
Op zijn beurt, deze vergelijkingen hebben een directe invloed op de beslissing van mechanische problemen, traject berekening en thermische geleidbaarheid - kortom, alles wat het heden en het vormgeven van de toekomst vormt. Onbepaalde integraal, waarvan voorbeelden we hierboven hebben gezien, alleen triviale op het eerste gezicht, als een basis meer en meer nieuwe ontdekkingen uit te voeren.