Basisbegrippen van de kansrekening. De wetten van de kansrekening

Veel mensen, wanneer zij worden geconfronteerd met het begrip "kansrekening", bang, denken dat het iets is ondraaglijk, erg moeilijk. Maar het is eigenlijk niet zo tragisch. Vandaag kijken we naar de basisbegrippen van de kansrekening, leren om problemen met concrete voorbeelden op te lossen.

wetenschap

Wat is het bestuderen van een tak van de wiskunde als een "kansrekening"? Zij merkt op patronen van willekeurige gebeurtenissen en variabelen. Voor de eerste keer dat de kwestie van Concerned Scientists in de achttiende eeuw, toen studeerde gokken. Basisbegrippen van de kansrekening - event. Het is geen feit, dat wordt verklaard door ervaring of observatie. Maar wat is ervaring? Een andere basisconcept van de theorie van waarschijnlijkheid. Het betekent dat dit deel van de omstandigheden niet per ongeluk worden gemaakt, en met een doel. Met betrekking tot het toezicht, is er de onderzoeker zelf niet deelneemt aan de ervaring, maar gewoon een getuige van deze gebeurtenissen, heeft het geen invloed op wat er gebeurt.

events

We hebben geleerd dat het basisconcept van de theorie van waarschijnlijkheid - het evenement, doch niet van mening classificatie. Ieder van hen zijn onderverdeeld in de volgende categorieën:

• Betrouwbaar.
• Onmogelijk.
• Random.

Maakt niet uit wat het evenement is, dat wordt bekeken of gecreëerd in de loop van het experiment, worden ze beïnvloed door deze classificatie. Wij bieden elk type van meet afzonderlijk.

bepaalde gebeurtenis

Dit is een feit waarop de noodzakelijke reeks activiteiten te maken. Om beter te begrijpen de essentie, is het beter om een paar voorbeelden te geven. Dit is ondergeschikt aan de wet en natuurkunde, scheikunde, economie en hogere wiskunde. kansrekening bevat zo'n belangrijk concept als een belangrijke gebeurtenis. Hier zijn enkele voorbeelden:

• Wij werken en een vergoeding ontvangen in de vorm van loon.
• Goed geslaagd voor de examens, geslaagd een wedstrijd voor het aan een vergoeding ontvangen in de vorm van de toelating tot een onderwijsinstelling.
• Wij hebben geld geïnvesteerd in de bank, krijgen ze terug, indien nodig.

Zulke gebeurtenissen zijn waar. Als we alle noodzakelijke voorwaarden voldoen, moet u het verwachte resultaat te verkrijgen.

onmogelijke gebeurtenis

Nu beschouwen we de elementen van de theorie van waarschijnlijkheid. Wij bieden om naar de verduidelijkingen in de volgende soorten evenementen - namelijk het onmogelijke. Om te beginnen bepaalt de belangrijkste regel - de waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis nul is.

Uit deze formulering niet kan worden afgeweken bij het oplossen van problemen. Voorbeelden van dergelijke gebeurtenissen te illustreren:

• Water wordt ingevroren bij een temperatuur van plus tien (het is onmogelijk).
• Het ontbreken van elektriciteit heeft geen invloed op de productie (even onmogelijk als in het vorige voorbeeld).

Meer voorbeelden gegeven is niet nodig, zoals hierboven is zeer duidelijk beschreven weerspiegelen de essentie van deze categorie. Onmogelijke gebeurtenis nooit gebeurt tijdens het experiment onder alle omstandigheden.

Random gebeurtenissen

Door het bestuderen van de elementen van de kansrekening, moet speciale aandacht worden besteed aan het opgegeven type gebeurtenis. Dit zijn degenen het bestuderen van deze wetenschap. Als gevolg van de ervaring van iets kan gebeuren of niet. Bovendien, de test een onbeperkt aantal keren worden uitgevoerd. Bekende voorbeelden zijn:

• Gooi de munt - het is een ervaring, of een test, het verlies van een adelaar - dit evenement.
• Het trekken van een bal uit de zak blind - test, werd betrapt rode bal - dit is een evenement, en ga zo maar door.

Dergelijke voorbeelden kunnen onbeperkt, maar in het algemeen worden verstaan. Om samen te vatten en te systematiseren van de opgedane kennis over de gebeurtenissen van een tabel. kansrekening studies alleen de laatste soort van al gepresenteerd.

wetten

Kansrekening - de wetenschap die de mogelijkheid van het verlies van elk evenement bestudeert. Net als de anderen, het heeft een aantal regels. De onderstaande wetten van de kansrekening:

• De convergentie van sequenties van willekeurige variabelen.
• De wet van de grote getallen.

Bij de berekening van de mogelijkheid van een complex kan worden gebruikt complexe eenvoudig evenementen om de resultaten eenvoudiger en snellere manier te bereiken. Opgemerkt dient te worden dat de wetten van de waarschijnlijkheid gemakkelijk kan worden aangetoond met behulp van enkele van de stellingen. Wij stellen voor om te beginnen om kennis te maken met de eerste wet.

De convergentie van de reeks willekeurige variabelen

Merk op dat de convergentie van verschillende soorten:

• De sequentie van kansvariabelen convergentie in waarschijnlijkheid.
• Bijna onmogelijk.
• RMS convergentie.
• Convergentie in de distributie.

Dus, on the fly, is het zeer moeilijk om de essentie te begrijpen. Hier zijn de definities die zullen helpen om het onderwerp te begrijpen. Om te beginnen met de eerste blik. De sequentie wordt convergentie in kans, wanneer de volgende voorwaarde: n oneindig nadert, de door de sequentienummer groter dan nul en dichtbij het apparaat.

Ga naar de volgende weergave, vrijwel zeker. Ze zeggen dat de rij convergeert vrijwel zeker een willekeurige variabele met n neigend naar oneindig, en R, neigt tot een waarde dichtbij één.

Het volgende type - een convergentie van de RMS. Bij gebruik van de SC-learning convergentie van vector willekeurige processen reduceert tot de studie van willekeurige coördineren processen.

Was het laatste type, laten we eens kijken kort om direct naar de oplossing van de problemen. Convergentie in de distributie heeft een andere naam - "zwak", leg dan uit waarom. Zwakke convergentie - de convergentie van de verdelingsfuncties op alle punten van de continuïteit van de grens verdelingsfunctie.

We zijn er zeker van aan de belofte te houden: de zwakke convergentie is anders dan al het voorgaande volgt dat de willekeurige variabele niet gedefinieerd is op de kans ruimte. Dit is mogelijk omdat de aandoening wordt gevormd met uitsluitend verdelingsfuncties.

De wet van de grote getallen

Grote helper in het bewijs van de wet zal worden stellingen van de kansrekening, zoals:

• Chebyshev ongelijkheid.
• Chebyshev's stelling.
• Gegeneraliseerde Chebyshev stelling.
• Markov stelling.

Als we kijken naar al deze stellingen, dan is het probleem enkele tientallen platen nemen. We hebben de belangrijkste taak - is de toepassing van de kansrekening in de praktijk. Wij bieden je nu en doe het. Maar voordat we rekening houden met de axioma's van de kansrekening, ze zijn belangrijke partners bij het oplossen van problemen.

axioma's

Vanaf de eerste hebben we al gezien, wanneer het gaat over de onmogelijke gebeurtenis. Laten we niet vergeten: de waarschijnlijkheid van een onmogelijke gebeurtenis nul is. Zo gaven we een zeer levendige en onvergetelijk: de sneeuw viel bij een luchttemperatuur dertig graden Celsius.

Het tweede is als volgt: een bepaalde gebeurtenis met kans eenheid. Nu zullen we zien hoe het is geschreven met behulp van wiskundige taal: P (B) = 1.

Ten derde: Een willekeurige gebeurtenis kan niet gebeuren of, maar de mogelijkheid varieert altijd van nul tot één. Hoe dichter het is om de eenheid, hoe meer kans; als de waarde dicht bij nul, is de kans is zeer laag. We schrijven dit in wiskundige taal: 0

Denk aan de laatste, vierde axioma, dat wil zeggen: de som van de waarschijnlijkheid van twee gebeurtenissen is gelijk aan de som van hun kansen. Schrijf wiskundige termen: P (A + B) = P (A) + P (B).

De axioma's van de kansrekening - het is een simpele regel die niet moeilijk te onthouden is. Laten we proberen om een aantal problemen, op basis van reeds verworven kennis op te lossen.

loterij kaartje

In de eerste plaats rekening houden met de eenvoudigste voorbeeld - een loterij. Stel je voor dat je een loterij ticket voor goed geluk gekocht. Wat is de kans dat u ten minste twintig roebels zal winnen? Totale oplage is betrokken bij een duizendtal tickets, waarvan één met een prijs van vijfhonderd roebel, tienhonderd roebel, twintig en vijftig roebels en een 100-5. De taak van de theorie van waarschijnlijkheid op basis van hoe je een manier om geluk te vinden. Nu samen analyseren we de beslissing boven de weergave Taken.

Als we aanduiden door een prijs van vijfhonderd roebel, is de waarschijnlijkheid dat A gelijk is aan 0,001. Hoe krijgen we? Hoeft alleen maar het aantal "lucky" tickets gedeeld door het totale aantal (in dit geval: 1/1000).

In - een winst van honderd roebel, zal de kans gelijk aan 0,01 zijn. Nu hebben we gehandeld op dezelfde manier als de laatste actie (10/1000)

C - uitbetaling is twintig roebel. Vind de kans op, het is gelijk aan 0,05.

De rest van de tickets We zijn niet geïnteresseerd, omdat hun prijzengeld is minder dan in de conditie. Breng een vierde axioma: De kans op het winnen van ten minste twintig roebel is P (A) + P (B) + P (C). De letter P geeft de waarschijnlijkheid van de oorsprong van het evenement, hebben we in de vorige stappen ze al gevonden. Het blijft alleen het vaststellen van de noodzakelijke gegevens, de reacties die we krijgen 0,061. Dit aantal zal het antwoord op de vraag van banen.

Dek van kaarten

Problemen op kansrekening, zijn er ook meer complexe, bijvoorbeeld, neem de volgende klus. Voordat u dek van zesendertig kaarten. Uw taak - twee kaarten te trekken in een rij, zonder vermenging stapel, de eerste en tweede kaarten moeten azen zijn, pakken doen er niet toe.

Om te beginnen, vinden de kans dat de eerste kaart is een aas, die kloof door vier en zesendertig. Opzij leggen. We namen een tweede kaart een aas is de kans op 335. De kans op het tweede evenement is afhankelijk van welke kaart we trok de eerste, wij zijn geïnteresseerd in, het was een ace of niet. Hieruit volgt dat in het geval is afhankelijk van het evenement A.

Vervolgens vinden we de waarschijnlijkheid van gelijktijdige toepassing, dat wil zeggen vermenigvuldigen A en B. hun werk is als volgt: de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis vermenigvuldigd met de conditionele waarschijnlijkheid van een andere, berekenen we aangenomen dat de eerste gebeurtenis is opgetreden, dat wil zeggen, de eerste kaart trokken we een aas.

Om alles duidelijk geworden, geeft de aanduiding dergelijk element als de conditionele waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis. Het wordt berekend onder aanname dat geval A gebeurde. Het wordt als volgt berekend: P (B / A).

Breiden we de oplossing voor ons probleem: p (A _* B) = P (A) _* P (B / A) of P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). De kans is (4/36) _* ((3/35) / (4/36) wordt berekend door het afronden naar het dichtstbijzijnde honderdste We hebben: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. de kans dat we trekken uit twee opeenvolgende aces gelijk aan 9/100. de waarde zeer klein is, volgt dat de kans gebeurtenisoptredentabel is extreem laag.

vergeten kamer

Wij bieden maken wat meer opties van banen die de theorie van waarschijnlijkheid bestudeert. Voorbeelden van oplossingen van sommige van degene die je hebt gezien in dit artikel, proberen om het volgende probleem op te lossen: De jongen vergat het telefoonnummer voor het laatste cijfer van zijn vriend, maar sinds de oproep van groot belang was, toen begon op te halen om de beurt. We moeten de kans dat hij niet meer zou noemen dan drie keer te berekenen. de eenvoudigste oplossing van het probleem, als je weet dat de regels, wetten en axioma's van de kansrekening.

Voordat u een oplossing te zien, proberen op te lossen op hun eigen. We weten dat het laatste cijfer kan van nul tot negen, voor een totaal van tien waarden. Waarschijnlijkheid score nodig is 1/10.

Vervolgens moeten we om de opties voor de herkomst van de gebeurtenissen te overwegen, laten we aannemen dat de jongen goed geraden en won het recht, de kans op dergelijke gebeurtenissen is gelijk aan 1/10. De tweede optie: het eerste gesprek slip, en het tweede doel. We berekenen de kans op dergelijke gebeurtenissen: 9/10 vermenigvuldigd met 1/9 op het einde krijgen we als 1/10. De derde optie: de eerste en tweede gesprek bleek het verkeerde adres te zijn, alleen de derde jongen was waar hij wilde. Bereken de kans op dergelijke gebeurtenissen: 9/10 vermenigvuldigd met 8/9 en 1/8, krijgen we als gevolg van 1/10. Andere opties op de conditie van het probleem dat we niet geïnteresseerd zijn, blijft dit voor ons om vast te stellen van deze resultaten, op het einde hebben we een 3/10. Antwoord: De kans dat een jongen niet meer dan drie keer gelijk zou noemen tot 0,3.

Kaarten met getallen

Voordat u negen kaarten, die elk een nummer is geschreven één tot negen, de nummers worden niet herhaald. Ze zetten in een doos en meng. Je moet de kans berekenen dat de

• gewalst Een even getal;
• een tweecijferig.

Alvorens over te gaan tot het besluit bepaald dat m - is het aantal succesvolle cases, en n - is het totale aantal opties. Laat het ons weten de waarschijnlijkheid dat het aantal is zelfs. Is het niet moeilijk te berekenen dat zelfs nummers van vier, en het is onze m, alle negen mogelijke opties, dat wil zeggen m = 9. Dan is de kans gelijk aan 0,44 of 4/9.

We beschouwen het tweede geval, het aantal varianten van negen, en een succesvol resultaat kan helemaal niet, dat wil zeggen, m gelijk is aan nul. De kans dat het langwerpige kaart een tweecijferig nummer bevat, als nul.